Какие комбинации до, после и по порядку секвенизации являются уникальными?

Мы знаем пост-заказ,

post L(x)     => [x]
post N(x,l,r) => (post l) ++ (post r) ++ [x]

и предварительный заказ

pre L(x)     => [x]
pre N(x,l,r) => [x] ++ (pre l) ++ (pre r)

и в порядке обхода соотв. sequentialisation.

in L(x)     => [x]
in N(x,l,r) => (in l) ++ [x] ++ (in r)

Легко видеть, что ни одно из них не описывает одно дерево однозначно, даже если мы предполагаем парные различные ключи / метки.

Какие комбинации трех могут быть использованы для этой цели, а какие нет?

Положительные ответы должны включать (эффективный) алгоритм для восстановления дерева и доказательство (идею), почему это правильно. Отрицательные ответы должны давать контрпримеры, т.е. разные деревья, которые имеют одинаковое представление.

Во-первых, я предполагаю, что все элементы различны. Никакая последовательность не скажет вам форму дерева с элементами [3,3,3,3,3]. Конечно, можно реконструировать некоторые деревья с дублирующимися элементами; Я не знаю, какие хорошие достаточные условия существуют.

Продолжая получать отрицательные результаты, вы не можете полностью перестроить двоичное дерево только из его последовательностей до и после упорядочивания. [1,2]Предзаказ, [2,1]пост-заказ должен иметь 1в корне, но 2может быть либо левый, либо правый. Если вас не волнует эта неоднозначность, вы можете восстановить дерево по следующему алгоритму:

• Пусть будет предварительного заказа, а будет предварительного заказа. Мы должны иметь , и это корень дерева.[ y n , … , y 1 ] x 1 = y $[x_1,\dots,x_n]$$[y_n,\ldots,y_1]$$x_1=y_1$
• y 2 x 2 = y 2 [ x 2 , … , x n ] [ y n , … , y 2$x_2$ - самый левый потомок корня, а - самый правый потомок. Если , корневой узел унарный; по и чтобы создать единственное поддерево.$y_2$$x_2 = y_2$$[x_2,\ldots,x_n]$$[y_n,\ldots,y_2]$
• В противном случае, пусть и будут такими индексами, что и . - это обход по предварительному заказу левого поддерева, - по правому поддереву, и аналогично для обходов после заказа. Левое поддерево имеет элементы , а правое поддерево содержит элементы . Рекурсировать один раз для каждого поддерева. Кстати, этот метод обобщает на деревья с произвольным ветвлением. При произвольном ветвлении выясните размер левого поддерева и обрежьте его элементы из обоих списков, затем повторите, чтобы обрезать второе поддерево слева, и так далее.j x 2 = y i y 2 = x j [ x 2 , … , x j - 1 ] [ x j , … , x n ] j - 2 = n - i + 1 i - 2 = n - j + 1 J - $i$$j$$x_2 = y_i$$y_2 = x_j$$[x_2,\ldots,x_{j-1}]$$[x_j,\ldots,x_n]$$j-2=n-i+1$$i-2=n-j+1$
  $j-2$

Как уже говорилось, время выполнения равно с наихудшим случаем (в случае с двумя дочерними элементами мы ищем каждый список линейно). Вы можете превратить это в если предварительно обработать списки для построения конечной структуры карты от значений элементов до позиций во входных списках , Также используйте массив или конечную карту для перехода от индексов к значениям; придерживайтесь глобальных индексов, так что рекурсивные вызовы получат целые карты и примут диапазон в качестве аргумента, чтобы знать, на что действовать.Θ ( n 2 ) O ( $O(n^2)$$\Theta(n^2)$$O(n\,\mathrm{lg}(n))$$n\,\mathrm{lg}(n)$

С помощью обхода по предварительному заказу и обхода по порядку вы можете перестроить дерево следующим образом:$[x_1,\ldots,x_n]$$[z_1,\ldots,z_n]$

• Корень является главой обхода предварительного заказа .$x_1$
• Пусть будет индексом таким, что . Тогда является обходом левого потомка по порядку, а является обходом правого потомка. Исходя из количества элементов, является предварительного порядка левого потомка, а - правым потомком. Повторяйте, чтобы построить левое и правое поддеревья.z k = x 1 [ z 1 , … , z k - 1 ] [ z k + 1 , … , z n ] [ x 2 , … , x k ] [ x k + 1 , … , x n$k$$z_k = x_1$$[z_1,\ldots,z_{k-1}]$$[z_{k+1},\ldots,z_n]$$[x_2,\ldots,x_k]$$[x_{k+1},\ldots,x_n]$

Опять же, этот алгоритм имеет как указано, и может быть выполнен в если список предварительно обработан в конечную карту от значений до позиций.O ( $O(n^2)$$O(n\,\mathrm{lg}(n))$

Пост-заказ плюс заказ, конечно, симметричны.