Как построить ворота XOR, используя только 4 шлюза NAND?

xorворота, теперь мне нужно построить эти ворота, используя только 4 nandворот

a b out
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

the xor = (a and not b) or (not a and b), который является

Я знаю ответ, но как получить диаграмму ворот из формулы?

РЕДАКТИРОВАТЬ

Я имею в виду интуитивно, для меня, я должен получить это, если я делаю это шаг за шагом, а затем определение xor = (a and not b) or (not a and b).

и xorбудет построен с 5 nandворотами (первое изображение №1 ниже)

мой вопрос больше похож на: представьте, что первый человек в истории nandвыяснит эту формулу, как он или она (процесс мышления) могут получить 4 решения из этой формулы, шаг за шагом.

Из этой формулы? Это может быть сделано. Но проще начать с этого: (здесь используется другая запись)

a ^ b = ~(a & b) & (a | b)

Хорошо, что теперь? В конце концов мы должны получить ~(~(~(a & b) & a) & ~(~(a & b) & b))(что выглядит так, как будто у него 5 NAND, но так же, как у принципиальной схемы, есть подвыражение, которое используется дважды)

Так что сделайте что-то похожее ~(a & b) & a(и то же самое, но с символом « bв конце») и надейтесь, что оно останется: ( andраздаёт or)

(~(a & b) & a) | (~(a & b) & b)

Довольно близко, просто примените DeMorgan, чтобы превратить эту середину orв and:

~(~(~(a & b) & a) & ~(~(a & b) & b))

Вот и все.

Я думаю, что вы просите это доказательство:

A^B = (!A)B + A(!B)
    = !!((!A)B) + !!(A(!B))
    = !(!!A + !B) + !(!A + !!B)
    = !(A + !B) + !(!A + B)
    = !((A + !B)(!A + B))
    = !(A(!A) + AB + (!A)(!B) + B(!B))
    = !(AB + (!A)(!B))
    = !(AB)(!(!A)(!B))
    = !(AB)(!!A + !!B)
    = !(AB)(A+B)
    = !(AB)A + !(AB)B
    = !!(!(AB)A + !(AB)B)
    = !((!(!(AB)A))(!(!(AB)B)))

Хотя, очевидно, NANDв полученном уравнении используются 5 с, но дубликат !(AB)будет использоваться только один раз, когда вы проектируете его схему.

Поскольку у вас уже есть ответ на диаграмме, который можно легко получить из википедии , введя название вопроса в Google в виде диаграммы .png, идентичной вашей, вам будет легко найти формулу, извлекая ее из этой диаграммы. Учитывая NAND определения , как $\text{NAND}(A,B)=\overline{AB}\;$:

• Крайний левый затвор дает ;$C=\overline{AB}$

• Верхние ворота дают ;$D_1=\overline{AC}$

• Верхний вентиль дает , поскольку NAND коммутативен, как AND;$D_2=\overline{BC}$

• Крайний правый затвор дает .$E=\overline{D_1D_2}$

Собирая все это вместе, мы сначала отметим, что

$C=\overline{AB}=\overline A+\overline B$

$\begin{align} \overline{D_1}&=AC\\ &=A(\overline A+\overline B)\\ &=A\overline A+A\overline B\\ &=0+A\overline B\\ &=A\overline B\\ \end{align}$

Аналогично: $\overline{D_2}=B\overline A$

Таким образом,
$\begin{align} E&=\overline{D_1D_2}\\ &=\overline{D_1}+\overline{D_2}\\ &=A\overline B + B\overline A \end{align}$

Какое именно определение XOR. Вы можете просто отменить все это, если хотите начать с исходных данных, а не просто проверить ответ.

Поиск ответа без предварительного знания

Это предназначено, чтобы ответить на явный запрос, добавленный как изменение к вопросу, для способа найти решение с нуля. Учитывая, что речь идет о мыслительном процессе, я даю все детали.

$A$$B$

$\text{XOR}(A,B)=A\overline B + B\overline A\;$,

Таким образом, мы можем попытаться угадать, какой тип ввода для этих элементов даст желаемый результат.

$\text{NAND}(X,Y)=\overline{XY}= \overline X+\overline Y\;$

Объединяя эту последнюю формулу с результатом, который мы должны получить, мы получаем:

• $\overline X=A\overline B\;$$X=\overline{A\overline B}=\overline A+B\;$,

• $Y=\overline{\overline A B}=A+\overline B\;$,

Обратите внимание, что это только самая простая возможность. Существуют и другие пары входных данных, которые дают желаемый результат, потому что мы не объединяемся в свободной алгебре, поскольку NAND обладает эквациональными свойствами. Но мы попробуем это для начала.

$X$$Y$$A$$B$

Мы могли бы попытаться повторить процедуру объединения (я это сделал), но это, естественно, приведет нас к использованию еще четырех ворот, а значит, к решению с 5 воротами.

$X$$Y$$Z$$A$$B$

$X$$Y$$Z$$A$$B$$A$$B$

$A$$B$

$Z=\text{NAND}(A,B)=\overline{AB}= \overline A+\overline B\;$

$Z$$A$$B$$X$$Y$

$A$$B$

Это легко проверить

$\begin{align} \text{NAND}(Z,A)&=\overline{ZA}\\ &=\overline{\overline{AB}\;A}\\ &=\overline{(\overline A+\overline B)\;A}\\ &=\overline{\overline AA+\overline BA}\\ &=\overline{0+\overline BA}\\ &=\overline{\overline BA}\\ &=\overline{A\overline B}\\ &=X \end{align}$

Similarly $\text{NAND}(Z,B)=Y$

Hence we can compose these four gates to get the desired result, i.e., the XOR function.

I take the input $(0,0)$ as an example.

For $\text{XOR}$, the desired output is 0. However, $\text{NAND}(0,0) = 1$.

• Because the only way to get a 0 using $\text{NAND}$ is (at the last layer) $\text{NAND}(1,1) = 0$, you should first produce two 1's.

  • According to $\text{NAND}(0,1) = 1$ or $\text{NAND}(1,0) = 1$, you produce a 1 using one $\text{NAND}(0,0)$ at the first layer and feed it, along with one input 0, into a second layer $\text{NAND}$.

Only four $\text{NAND}$s are involved. But it is only correct for the input $(0,0)$ so far. So you need to check other inputs $(0,1), (1,0),$ and $(1,1)$ against the solution and find that it just works. Lucky.

I tried my best to give the answer using formula as asked.Hope you appreciate it.
Z=AB'+A'B
Z=AA'+AB'+BB'+A'B --->BB'=AA'=0
Z=A(A'+B')+B(B'+A')
Z=A(AB)'+B(AB)' --> Hint
so now (AB)' can get through 1st NAND gate,then in 2nd and third NAND gate the output of 1st NAND gate pass through with one of the input as A and B.After this we need one more complement so use fourth NAND gate.
NAND(1st)=(AB)'=A'+B'
NAND(2nd)=(A(AB)')'=(A(A'+B'))'=(AB')'=A'+B
NAND(3rd)=(B(AB)')'=(B(A'+B'))'=(A'B)'=A+B'
NAND(4th)=[(A'+B)(A+B')]' =[A'B'+AB]'=(A+B)(A'+B')=AB'+A'B

Happy!

The formula: XOR = (a and not b) or (not a and b).

Thats' not what you want, you want a formula that is a NAND. Remember that not (a or b) = not a and not b, and therefore (a or b) = not (not a and not b). Therefore

(a and not b) or (not a and b) =

not (not (a and not b) and not (not a and b)) =

not ((not a or b) and (a or not b)) =

NAND (not a or b, a or not b).

So we used one NAND gate, and have to calculate (not a or b) and (a or not b) using three NANDs. We turn each expression into a NAND:

not a or b = not (a and not b) = NAND (a, not b)

a or not b = not (not a and b) = NAND (not a, b)

Now we observe that (x and y) = x and (not x or y): If x is false then both sides are false. If x is true then (not x or y) = (false or y) = y. This is true for NAND just as it's true for AND. Therefore

NAND (a, not b) = NAND (a, not a or not b) = NAND (a, NAND (a, b))

NAND (b, not a) = NAND (b, not b or not a) = NAND (b, NAND (a, b)).

So we first find mid = NAND (a, b), left = NAND (a, mid) and right = NAND (b, mid), finally XOR = NAND (left, right).

*From left to right--D1,D2,D3,D4 ** D1=(A.B)' OR(A'+B')

suppose

(A.B)'=C

D2=(A.C)'=A'+C'

D3=(B.C)'=B'+C' then

D4=(D2.D3)'

D4=((A.C)'.(B.C)')'

D4=(A.C)''+(B.C)''

D4=(A.C)+(B.C)

D4=A.(A'+B')+B.(A'+B')

D4=AB'+BA' {A.A'=B.B'=0}**