Регулярность унарных языков с длинами слов сумма двух соотв. три квадрата

Я думаю об унарных языках $L_k$ , где $L_k$ - множество всех слов, длина которых равна сумме $k$ квадратов. Формально: Легко показать, что L 1 = { a n 2 ∣ n ∈ N 0 } не является регулярным (например, с леммой Пампинга). Кроме того, мы знаем, что каждое натуральное число является суммой четырех квадратов, из чего следует, что при k ≥ 4 все языки L k являются регулярными, поскольку L k = L ( a ∗ ) .

$$L_k=\{a^n\mid n=\sum_{i=1}^k {n_i}^2,\;\;n_i\in\mathbb{N_0}\;(1\le i\le k)\}$$ $L_1=\{a^{n^2}\mid n\in\mathbb{N_0}\}$
$k\ge 4$$L_k$$L_k=L(a^*)$

Теперь меня интересуют случаи и k = 3 :$k=2$$k=3$

, L 3 = { п 1 2 + п 2 2 + п 3 2 | п 1 , п 2 , п 3 ∈ N 0 } .$L_2=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2}\mid n_1,n_2\in\mathbb{N_0}\}$$L_3=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}\mid n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N_0}\}$

К сожалению, я не могу показать, являются ли эти языки регулярными или нет (даже с помощью теоремы Лежандра о трех квадратах или теоремы Ферма о суммах двух квадратов ).

Я вполне уверен, что по крайней мере не является регулярным, но несчастливое мышление не является доказательством. Любая помощь?$L_2$

Давайте начнем с . Известно, что верхняя плотность целых чисел, которые являются суммой двух квадратов, равна 0. Если бы L 2 был регулярным, то он был бы в конечном итоге периодическим, и поэтому, поскольку его верхняя плотность равна 0, он конечен. Но мы знаем, что в L 2 есть сколь угодно большие целые числа , поэтому L 2 не может быть регулярным.$L_2$$L_2$$L_2$$L_2$

Что касается , рассмотрим слова w k = 1 4 k 7 . Я утверждаю , что для к < л , слова ш к , ш л неэквивалентны. Действительно, w k 1 4 k 8 ∉ L 3, а w ℓ 1 4 k 7 ∈ L 3 . Тогда критерий Майхилла-Нерода показывает, что L 3 нерегулярно.$L_3$$w_k = 1^{4^k 7}$$k < \ell$$w_k,w_\ell$$w_k 1^{4^k 8} \notin L_3$$w_\ell 1^{4^k 7} \in L_3$$L_3$

Предположим, что регулярно. Тогда его дополнение, которое по теореме Лежандра о трех квадратах равно { a n | n = 4 k ( 8 l + 7 ) , k , l ∈ N } . По теореме Париха это означало бы, что множество длин S = { 4 k ( 8 l + 7 ) | k , l ∈ N$L_3$$\{a^n\ |\ n=4^k(8l+7), k,l\in\mathbb{N}\}$$S=\{4^k(8l+7)\ |\ k,l\in\mathbb{N}\}$является полу-линейным, то есть конечное объединение линейных множеств S я = { а я + г Ь I | r ∈ N } .$\bigcup_{i=1}^NS_i$$S_i=\{a_i + rb_i\ |\ r\in\mathbb{N}\}$

Рассмотрим два элемента при k 1 > k 2 , и пусть r : = k 1 - k 2 . Если s 1 , s 2 оба находятся в одном и том же S i , то либо$s_1 = 4^{k_1}(8l_1+7), s_2 = 4^{k_2}(8l_2+7)\in S$$k_1>k_2$$r:=k_1-k_2$$s_1,s_2$$S_i$ или 2 s 2 - s 1 (в зависимости от того, s 1 < s 2 или s 1 > s 2 ). Но$2s_1-s_2$$2s_2-s_1$$s_1<s_2$$s_1>s_2$

• , где l ′ = 4 r - 1 ( 8 l 1 + 7 ) - l 2 ,$2(4^{k_1}(8l_1+7))-(4^{k_2}(8l_2+7)) = 4^{k_2}(8l'-7)$$l'=4^{r-1}(8l_1+7)-l_2$
• , где l ′ = 2 l 2 - 4 г л 1 .$2(4^{k_2}(8l_2+7))-(4^{k_1}(8l_1+7)) = 4^{k_2}(8l'-7*4^r+14)$$l'=2l_2-4^rl_1$

Ни один из них не находится в , поэтому s 1 , s 2 должны быть в разных членах объединения. Но это невозможно, так как S - конечное объединение и существует бесконечно много разных k .$S$$s_1,s_2$$S$$k$

Следовательно, не является регулярным.$L_3$