В каком смысле множество Мандельброта «вычислимо»?

Набор Мандельброта - прекрасное существо в математике.

Существует множество красивых изображений этого набора, созданных с высокой точностью, поэтому, очевидно, этот набор в некотором смысле «вычислим».

Однако меня беспокоит тот факт, что он даже не рекурсивно перечислим - просто потому, что множество неисчислимо. Это можно решить, потребовав какого-то конечного представления точек.

Кроме того, хотя мы точно знаем, что множество точек принадлежит множеству, а другие нет, есть также много точек, чье членство в наборе мы не знаем. Все изображения, которые мы видели до сих пор, могут включать в себя множество точек, которые «ограничены до n итераций», но эти точки могут на самом деле не принадлежать к набору.

Таким образом, для данной точки с конечным представлением возникает проблема "принадлежит ли эта точка множеству?" пока не доказано, что это можно решить, если я прав.

Теперь, в каком смысле (по какому определению) мы можем сказать, что множество Мандельброта "вычислимо"?

computability

— Земля Двигатель
источник

«Однако меня беспокоит тот факт, что он даже не рекурсивно перечислим - просто потому, что множество неисчислимо». - это, вероятно, не должно быть то, что касается вас. В конце концов, тонны действительно простых наборов точек в

неисчислимы.

, например.

R^{2}

$\mathbb R^2$

R^{2}

$\mathbb R^2$

— user2357112 поддерживает Monica

Ответы:

Есть несколько способов определить, что означает, что множество Мандельброта вычислимо. Одним из возможных определений является модель Блюма – Шуба – Смейла. В этой модели реальные вычисления моделируются машиной, похожей на машину с ОЗУ, чей доступ к действительным числам ограничен базовой арифметикой и сравнениями. Блум и Смейл показали, что множество Мандельброта не вычислимо в этой модели, хотя его дополнение может быть рекурсивно перечислено с использованием традиционного алгоритма, используемого для их рисования.

Другой моделью является вычислимый анализ , в котором множество Мандельброта, вероятно, вычислимо, как показано Гертлингом (в зависимости от широко распространенной гипотезы, гипотезы гиперболичности). В этой модели вычисление множества Мандельброта означает возможность вычисления аппроксимации к множеству Мандельброта с любой требуемой точностью (точное определение см. В справочнике по вычислимому анализу).

Тогда почему компьютер, похоже, способен рисовать множество Мандельброта? Основная трудность в том, чтобы показать, что традиционный алгоритм работает, заключается в том, что трудно заранее определить, сколько итераций нужно выполнить, прежде чем мы решим, что точка принадлежит набору. Гертлинг показывает, что если верна гипотеза о гиперболичности, то существует разумная такая граница. Предположительно, программы просто ждут достаточно долго; или они не ждут достаточно долго, а лишь неправильно набирают небольшую часть очков.

— Юваль Фильмус
источник

R

$R$

По сути, множество Мандельброта не вычислимо (насколько нам известно). Тот факт, что вы видите изображения, не означает, что это вычислимо. Эти изображения вычисляются с использованием аппроксимации: если процесс выполняется дольше, чем установленный порог, как эвристический, код предполагает, что он никогда не завершится. Эта эвристика может быть неправильной, и в результате эти изображения могут быть не на 100% точными. Другими словами, эти картинки не являются изображением «множества» Мандельброта; они приближаются к множеству Мандельброта.

— DW
источник

Я думаю, что проблема в том, что мы вычисляем только приближения. Вопрос заключается в том, сходятся ли эти приближения к некоторому пределу, который является множеством Мандельброта, если вы увеличиваете время вычислений. Я вас неправильно понимаю?

— Бабу

@babou, с чего бы это? Я могу дать вам алгоритм, который является приближением к проблеме Остановки, т. Е. Он сходится в пределе к правильному решению проблемы Остановки - но этого недостаточно, чтобы мы считали проблему Остановки вычислимой. Я не думаю, что вы меня неправильно поняли.

— DW

Я должен быть смущен где-то. У меня сложилось впечатление, что бесконечные объекты можно считать вычислимыми, если они являются пределом бесконечной последовательности вычислимых объектов, с некоторыми конкретными условиями того, как должна вести себя сходимость к пределу. Кажется, в моем понимании дыра.

— Бабу

@babou, хорошо. Я не сомневаюсь в вашей памяти / понимании. Я не слышал об этом понятии вычислимости, но я верю вам.

— DW

Во-первых, вы всегда должны сомневаться в моей памяти / понимании. Многое из того, что здесь обсуждается, не относится к моей (бывшей) экспертизе. На самом деле мое понимание основывается на том, что я мало читаю о вычислимых вещественных значениях, которые я понимал как вычислимые с любой требуемой точностью единообразным способом. Тогда есть мое старое семантическое понимание бесконечных структур как пределов конечных структур в частично упорядоченных множествах, хотя я не уверен, как они связаны.

— Бабу