Есть ли конкретная связь между теоремой Гёделя о неполноте, проблемой остановки и универсальными машинами Тьюринга?

76

Я всегда смутно думал, что ответ на вышеупомянутый вопрос был утвердительным по следующим направлениям. Теорема Гёделя о неполноте и неразрешимость проблемы остановки являются отрицательными результатами о разрешимости и установлены диагональными аргументами (и в 1930-х годах), поэтому они должны как-то быть двумя способами рассматривать одни и те же вопросы. И я подумал, что Тьюринг использовал универсальную машину Тьюринга, чтобы показать, что проблема остановки неразрешима. (См. Также этот вопрос по математике .)

Но теперь, когда (изучая курс по вычислимости) я более внимательно изучаю эти вопросы, я довольно озадачен тем, что нахожу. Так что я хотел бы помочь с исправлением моих мыслей. Я понимаю, что, с одной стороны, диагональный аргумент Геделя очень тонок: ему нужно много работы, чтобы построить арифметическое утверждение, которое можно интерпретировать как высказывание чего-то о его собственной выводимости. С другой стороны, доказательство неразрешимости проблемы остановки, которую я нашел здесь , чрезвычайно просто и даже не упоминает явно машины Тьюринга, не говоря уже о существовании универсальных машин Тьюринга.

Практический вопрос об универсальных машинах Тьюринга заключается в том, имеет ли какое-либо значение, чтобы алфавит универсальной машины Тьюринга был таким же, как и у машин Тьюринга, которые она имитирует. Я подумал, что это будет необходимо для того, чтобы придумать правильный диагональный аргумент (чтобы симуляция машины сама себя), но я не нашел никакого внимания к этому вопросу в изумительной коллекции описаний универсальных машин, которую я нашел в сети. Если бы не проблема остановки, полезны ли универсальные машины Тьюринга в любом диагональном аргументе?

Наконец, меня смущает этот дальнейший разделтой же статьи WP, в которой говорится, что более слабая форма неполноты Геделя следует из проблемы остановки: «полная, последовательная и обоснованная аксиоматизация всех утверждений о натуральных числах недостижима», где «звук» должен быть ослаблением. Я знаю, что теория непротиворечива, если нельзя получить противоречие, и полная теория о натуральных числах, казалось бы, означает, что в ней могут быть получены все истинные утверждения о натуральных числах; Я знаю, что Гедель говорит, что такой теории не существует, но я не понимаю, как такой гипотетический зверь может быть не в состоянии быть верным, т. Е. Также выводить утверждения, которые являются ложными для натуральных чисел: отрицание такого утверждения было бы истинным и, следовательно, по полноте также выводится, что противоречило бы последовательности.

Буду признателен за любые разъяснения по одному из этих пунктов.

— Марк ван Леувен
источник

У вас есть одна концептуальная проблема: алгоритмическая разрешимость (проблема остановки) и выводимость, соответственно. доказуемость (логика) - два совершенно разных понятия; Вы, кажется, используете «разрешимость» для обоих.

— Рафаэль

1

@ Рафаэль: Мне очень хорошо известно, что между формулировками теоремы о неполноте и неразрешимости проблемы остановки стоит большая концептуальная разница. Однако отрицательная форма неполноты: достаточно мощная формальная система не может быть как непротиворечивой, так и полной, переходит в утверждение о неразрешимости: так как множество теорем, выводимых в формальной системе, полуразрешимо по построению, полнота сделает множество -теоремы также полуразрешимы (как отрицания теорем, предполагая согласованность или как пустое множество), следовательно, разрешимы.

— Марк ван Леувен

да, действительно, два доказательства концептуально чрезвычайно похожи, и на самом деле один из способов взглянуть на это состоит в том, что Годель построил своего рода логику, полную по Тьюрингу, в арифметике. Есть много книг, которые указывают на эту концептуальную эквивалентность. например, Годель Эшер Бах от hofstadter или Emperors New Mind от Пенроуза ....

— vzn

Что-то связанное ... Я всегда запоминаю парабель Хофштадтера, где Черепаха продолжает ломать рекордного игрока Ахилла, как применение к проблеме остановки. На самом деле, я нашел эту ветку путем (пере) поиска моего замешательства. Я все еще чувствую, что парабель более естественно и прямо переводит на проблему остановки, но это без какого-либо глубокого понимания ни одной из теорем.

— micans

32

Я рекомендую вам проверить сообщение в блоге Скотта Ааронсона о доказательстве теоремы неполноты с помощью машин Тьюринга и теоремы Россера. Его доказательство теоремы о неполноте чрезвычайно просто и легко следовать.

— Маркос Вильягра
источник

P

$P$

\neg P

$\lnot P$

1

В том же ключе есть и другое доказательство в книге «Природа вычислений» ( amazon.com/gp/cdp/member-reviews/A2DGFHJVZ92HVI/… ) в главе о вычислимости. Там авторы избегают использования теоремы Россера и предполагают существование универсальных машин (т. Е. Тезис Черча-Тьюринга). Точная ссылка на раздел 7.2.5 стр. 238.

— Маркос Вильягра,

21

Ответ Нила Кришнасвами на проблему Остановки, неисчислимые множества: общее математическое доказательство? на CSTheory указывает на ссылки, связывающие вышеупомянутые результаты под эгидой теории категорий.

— Суреш
источник

1

эта статья не упоминается в ответе cstheory (но есть в комментариях к сообщению блога Андрея Бауэра из ответа), но, вероятно, также является хорошим обзором.

— Артем Казнатчеев

Это связь, основанная на сходстве доказательств, а не на последствиях между результатами, не так ли?

— Рафаэль

1

Что ж, точка зрения в статье, на которую ссылается Артем, состоит в том, что все они являются проявлениями единого теоретико-категоричного факта.

— Суреш

16

(Предполагается, что это комментарий к ответу Суреша, но он слишком длинный, чтобы поместиться там. Поэтому я заранее извиняюсь, что он не отвечает на вопрос Марка.)

Я нахожу ответ Нила: проблема остановки, неисчислимые множества: общее математическое доказательство? на CSTheory и блоге Андрея Бауэра неудовлетворительно по двум причинам.

$\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$

Во-вторых, приведенное выше доказательство является неудовлетворительным, поскольку мы также хотим «увидеть» пример разумного неразрешимого языка. Приведенное выше доказательство можно рассматривать как аргумент подсчета и, следовательно, не очень «конструктивно» в этом смысле. Тьюринг обнаружил проблему остановки в качестве такого примера.

— Dai
источник

+1 Это более простой подход, но я все еще сомневаюсь в этом: «и поэтому мы знаем, что должен существовать неразрешимый язык». Не могли бы вы указать разницу между неразрешимым языком и неразрешимой проблемой?

— Hernan_eche

1

x \in Σ^{*}

$x\in \Sigma^*$

P

$P$

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

L

$L$

P

$P$

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

N

$\mathbb{N}$

Но диагональный аргумент действительно является конструктивным доказательством. Наряду с сокращением до теоремы Кантора неразрешимый язык - это совокупность всех машин, кодировка которых не соответствует принятому языку.

— Уиллард Жан

6

$\mbox{DTIME}(f(n)^3)$ $\mbox{DTIME}(f(n/2))$

$K$ $¬KK$

— jmad
источник

Для достаточно непостоянного f (n).

— Йонатан N

0

«Если бы не проблема остановки, полезны ли универсальные машины Тьюринга в любом диагональном аргументе?»

Теорема Райса по сути является обобщением диагонализации по машинам Тьюринга. Он показывает, что в машинах Тьюринга нет абсолютно никакого свойства, которое можно выбрать для всех машин Тьюринга с помощью одного алгоритма, если только это свойство не сохраняется для всех машин Тьюринга или без машин Тьюринга. Обратите внимание на тот факт, что свойство, сохраняемое для всех машин Тьюринга или без машин Тьюринга, не позволяет объекту диагонализации быть машиной Тьюринга, поэтому он не может быть в списке в первую очередь, чтобы противоречить решению о свойстве. На самом деле это единственныйвещь, которая препятствует тому, чтобы объект диагонализации был в списке и противоречил решению о свойстве, то есть все свойства машин Тьюринга неразрешимы. Этот образец объекта диагонализации, который должен быть членом списка вещей, о которых вы пытаетесь принять решение, и при этом отрицать это решение, является критической абстракцией, которую захватывает теорема Лаврера (на которую есть ссылка в ответе Суреша). для того, чтобы полностью обобщить понятие диагонализации. Теперь, поскольку мы знаем по опыту, что почти каждая диагонализация, по-видимому, имеет общее свойство приводить к какому-то чрезвычайно важному результату в математической логике, что делает теорему Лаврера довольно интересным инструментом.

— stoopkid
источник