Является ли обобщенный XOR-SAT эффективно разрешимым?

12

Я видел, как XOR-3-SAT эффективно разрешима (например, см. Раздел «XOR-удовлетворяемость» в статье Википедии для проблемы булевой выполнимости ).

Мне интересно основной вопрос: эффективно ли разрешим XOR-k-SAT для формул с различным количеством литералов в предложении?

Мне бы очень хотелось узнать, сможем ли мы увеличить количество литералов в предложении выше 3, и можем ли мы иметь смешанные длины предложений.

complexity-theory satisfiability

— Мэтт Грофф
источник

2

Какие исследования вы провели? Мы ожидаем, что вы сначала приложите серьезные усилия, прежде чем спросить, и покажете нам в вопросе, какие исследования вы провели и что вы пробовали. В Википедии упоминается, что алгоритм решения XOR-3-SAT - это исключение Гаусса. Вы пытались понять, как это работает, и посмотреть, применимо ли это к XOR-k-SAT?

— DW

@ DW Я признаю, что я не проводил много исследований по этому вопросу. Я видел упоминание об исключении Гаусса и полагал, что это будет работать для обобщенного XOR-SAT. Но я думаю, я искал подтверждение. Я надеюсь, вы простите мою лень. Я постараюсь сделать больше исследований в будущем, прежде чем задавать подобные вопросы.

— Мэтт Грофф

11

Похоже, что статья в Википедии, на которую вы ссылаетесь, говорит, что XORSAT (не только 3-XORSAT) находится в P. Метод, с помощью которого они решают эту формулу 3-XORSAT в своем примере, очень легко обобщает формулы, в которых предложения могут иметь произвольно большое количество переменных и различное количество переменных.

Вы просто смотрите на формулу как систему линейных уравнений, где у вас есть уравнение для каждого предложения и переменная для каждой переменной. Например, формула:

(x_{1} \oplus x_{2} \oplus \neg x_{3} \oplus x_{5}) \land (x_{2} \oplus x_{3})

$(x_1\oplus x_2\oplus\lnot x_3\oplus x_5)\land (x_2\oplus x_3)$

имеет удовлетворительное назначение тогда и только тогда, когда решение имеет следующая система уравнений:

x_{1} + x_{2} + (1 + x_{3}) + x_{5} \equiv 1 \mod 2

$x_1+x_2+(1+x_3)+x_5\equiv 1 \mod 2$

x_{2} + x_{3} \equiv 1 \mod 2

$x_2+x_3\equiv 1 \mod 2$

И мы можем найти решения таких линейных систем уравнений за полиномиальное время, используя исключение Гаусса!

— Дилан Маккей
источник

6

Да. Это разрешимо устранением Гаусса. Устранение Гаусса может решить любую систему уравнений, которая является линейной по модулю. XOR действует как сложение по модулю 2, поэтому каждое предложение XOR-SAT действует как линейное уравнение по модулю 2. Следовательно, удаление по Гауссу может решить любую формулу XOR-k-SAT или любую формулу XOR-SAT, даже если существует различное количество литералов по длине предложения или по смешанному предложению, за полиномиальное время.

— DW
источник