Доказательство теоремы Карпа-Липтона

Я пытаюсь понять доказательство теоремы Карпа-Липтона, изложенное в книге «Вычислительная сложность: современный подход» (2009).

В частности, в этой книге говорится следующее:

Теорема Карпа-Липтона

Если NP P ∖ p o l y , то PH = Σ p 2 .$\subseteq$ $P_{\backslash poly}$ $= \Sigma^p_2$

Доказательство. По теореме 5.4, чтобы показать PH , достаточно показать, что Π p 2 ⊆ Σ p 2 и, в частности, достаточно показать, что Σ p 2 содержит Π p 2 -полный язык Π 2 SAT.$= \Sigma^p_2$$\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$$\Sigma^p_2$$\Pi^p_2$$\Pi_2$

Теорема 5.4 утверждает, что

для каждого , если Σ p i = Π p i, то PH = Σ p i . То есть иерархия рушится до i-го уровня.$i \geq 1$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$$\Sigma_i^p$

Я не понимаю, как подразумевает Σ p 2 = Π p 2 .$\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$$\Sigma_2^p = \Pi_2^p$

В качестве более общего вопроса: делает это для всякого , т.е. делает Π р я ⊆ Σ р я означает , Σ р я = Π р я для всех I ≥ 1 ?$i$$\Pi^p_i\subseteq \Sigma^p_i$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$$i \geq 1$

$L \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$$\Sigma_i^p \subseteq \Pi_i^p$$L \in \Pi_i^p$. Then $\bar{L} \in \Sigma_i^p$ and so $\bar{L} \in \Pi_i^p$ by assumption, implying that $L \in \Sigma_i^p$. In other words, $\Pi_i^p \subseteq \Sigma_i^p$, and so $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$.

Here's why $L \in \Sigma_i^p$ iff $\bar{L} \in \Pi_i^p$. For concreteness, we take $i = 3$. By definition, $L \in \Sigma_3^p$ if for some P-time predicate $T$,

$$x \in L \Leftrightarrow \exists |y| < |x|^{O(1)} \forall |z| < |x|^{O(1)} \exists |w| < |x|^{O(1)} T(x,y,z,w).$$ Similarly $\bar{L} \in \Pi_3^p$ if for some P-time predicate $S$, $$x \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall |y| < |x|^{O(1)} \exists |z| < |x|^{O(1)} \forall |w| < |x|^{O(1)} S(x,y,z,w).$$ However, these two statements are equivalent, as a simple invocation of de Morgan's laws shows, together with the fact that P is closed under complementation (take $S = \lnot T$).