Доказательство сложности времени для реализации дерева ранжированных сумм в дереве сегментов

Я понимаю , что сегментные дерева могут быть использованы , чтобы найти сумму юга массива . И что это может быть сделано за O ( log n ) в соответствии с руководством здесь .$A$$\mathcal{O}(\log n)$

Однако я не могу доказать, что время запроса действительно равно . Эта ссылка (и многие другие) говорят, что мы можем доказать, что на каждом уровне максимальное количество обрабатываемых узлов равно 4, и поэтому O ( 4 log n ) = O ( log n ) .$\mathcal{O}(\log n)$$4$$\mathcal{O}(4 \log n) = \mathcal{O}(\log n)$

Но как мы можем доказать это, возможно, противоречием?

И если так, если бы мы использовали деревья сегментов для ранжированной суммы массивов более высокой размерности, как доказательство было бы расширено?

Например, я могу подумать о поиске суммы подматрицы путем деления исходной матрицы на 4 квадранта (аналогично интервалам деления пополам в линейных массивах), построения дерева сегментов квадранта, но доказательство ускользает от меня.

$2$

Рассмотрим дерево сегментов, приведенное ниже.

$3$$2$$\log{n}$$\boxed{2 \cdot \log{n} = \Theta\left( {\log{n}} \right)}$