Потерянный в одностороннем концерте

Вы и друг потеряли друг друга в очереди на концерт, и никто не уверен, кто из вас еще впереди. Формально каждый из них имеет некоторую целочисленную координату и может идти только к более высокой координате или оставаться на месте.

Предполагая, что вы и ваш друг придерживаетесь одного и того же алгоритма (и нет, вы не можете сказать «если (name ==« R B ») что-то делаете :)), и начальное расстояние между вами было (что не известно вам). $x$

Каков алгоритм, который минимизирует ожидаемое расстояние ходьбы, пока вы и ваш друг не встретитесь?

Вы можете предположить, что и ваш друг, и вы движетесь с одинаковой постоянной скоростью.

Пример простого алгоритма будет выглядеть примерно так:

На этапе (начиная с ): $n$ $0$

Прогулка шагов к правильному сор $3^n$ или подождитеединиц времени в противном случае. $\frac{1}{2}$ $3^n$

Чтобы увидеть, что этот алгоритм заставляет друзей встретиться с вероятностью 1, подумайте, что происходит на этапе . Даже если друг, который был на шаг впереди, всегда шел, а другой всегда оставался на месте, расстояние между ними было бы: $(\log_3 x+1)$ $x$

x + 1 + 3 + 9 + \dots + 3^{\log_{3} x} = 2 x + \frac{x - 1}{2} \leq 3 x

$x+1+3+9+\ldots+3^{\log_3 x}=2x+\frac{x-1}{2}\leq 3x$

Следовательно, на итерации друг, который выбирает прогулку, преодолеет расстояние , следовательно, с вероятностью $\log_3 x+1$ $3^{\log_3 x+1}=3x$ , друг, который позади, догонит, и они встретятся. $\frac{1}{4}$

Простая оптимизация (для уменьшения пройденного расстояния) состояла бы в том, чтобы вместо шаговых шагов пройти шагов, где определяется как: $3^x$ $c^x$ $c$

2 + \frac{1}{c - 1} = c

$2+\frac{1}{c-1}=c$

Таким образом, оптимальная для этого алгоритма является $c$ $c=\frac{3+\sqrt 5}{2}\approx 2.618$

К сожалению, хотя этот алгоритм гарантирует, что друзья встретятся с вероятностью 1, ожидаемое расстояние ходьбы бесконечно, чего я бы хотел избежать, если это возможно.

Есть ли более эффективный алгоритм?

algorithms randomized-algorithms

— RB
источник

Когда вы говорите «ожидаемое расстояние ходьбы» - вы имеете в виду в худшем случае, где алгоритм является вероятностным, или вы также предполагаете некоторое распределение на входах? Кроме того - вы требуете, чтобы ваш алгоритм всегда был правильным, или чтобы быть правильным wp 1? (или меньше?) - обратите внимание, что алгоритм, который вы здесь представляете, может никогда не остановиться (но wp 0)

— Шал

Это похоже на проблему линейного поиска ( en.wikipedia.org/wiki/Linear_search_problem ).

— Юваль Фильмус

@Shaull - поскольку оба друга следуют одному и тому же алгоритму, он должен быть вероятностным, иначе они никогда не встретятся. Ожидание превышает рандомизацию алгоритма.

— РБ

В своем алгоритме вы имеете в виду прогулку

единицу времени вправо с постоянной скоростью

? Ходьба

шагов может не говорить 2 ^ n раз.

2^{n}

$2^n$

C

$C$

2^{n}

$2^n$

— 吖奇说 АРХИ ШУō

@ 0a-archy - мы предполагаем, что оба движутся с одинаковой скоростью (пусть это будет 1

для этого вопроса). Идея в алгоритме, который я дал, состоит в том, что вы либо проходите

шагов, либо ждете эквивалентного времени, поэтому каждая итерация начинается одновременно для обоих игроков.

\frac{step}{time unit}

$\frac{\text{step}}{\text{time unit}}$

2^{n}

$2^n$

— РБ

На шаге нарисуйте случайное число равномерно между , и . $k$ $q$ $1$ $2$ $3$

если , пройти , подождать , пройти $q = 1$ $2^{k-1}$ $2^{k+1}$ $2^{k-1}$

если , подождите , пройдитесь , подождите , пройдитесь , подождите $q = 2$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$ $2^{k}$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$

если , подождите , пройдите , подождите $q = 3$ $2^k$ $2^k$ $2^k$

На каждом шаге оба друга пройдут шагов. Если , они не встретятся на этом шаге, однако, если , они встретятся тогда и только тогда, когда они не нарисуют одно и то же число. Вероятность того, что этого не происходит только на каждом шаге. $k$ $2^k$ $k < \log_2(x) + 1$ $k >= \log_2(x) + 1$ $1/3$

Следовательно, ожидаемое расстояние ходьбы (ограничено сверху):

2 (\sum_{k = 0}^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} 2^{k} + 3^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} \sum_{k = ⌈ \log_{2} (x) ⌉ + 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{k})

$2\left(\sum_{k=0}^{\lceil\log_2(x)\rceil}2^k+3^{\lceil\log_2(x)\rceil}\sum_{k=\lceil\log_2(x)\rceil+1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^k\right)$

Который конечен и равен, если верить моей математике с салфетками, . $2^{\lceil\log_2(x)\rceil+3}-2 \le 16x$

$d$ $\forall D>0, \mathrm{P}(d>D) > 0$ $\sum_{D=0}^{\infty}\mathrm{P}(d=D)\cdot D = \mathbb{E}[d]$ $d$ это гораздо более сильное свойство, и я считаю, что невозможно найти решение, удовлетворяющее его.

— Дэвид Даррлман
источник