Сложность нахождения биномиального коэффициента, равного числу

Предположим, вы получаете число $m$ (используя $O(\log m)$ бит в двоичном кодировании).

Как быстро вы можете найти (или определить, что такое не существует) ?

n, k \in N, 1 < k \leq \frac{n}{2} : (\binom{n}{k}) = m

$n,k\in \mathbb N, 1<k\leq\frac{n}{2}:{n \choose k}=m$

Например, учитывая вход , можно вывести . $m=8436285$ $n=27, k=10$

Наивный алгоритм для задачи будет проходить по всем возможным значениям для и искать значение которое удовлетворяет свойству. $n$ $k$

Простое наблюдение состоит в том, что нет необходимости проверять значения меньшие, чем или больше, чем . Однако (даже если бы мы могли проверять только возможных значений на значение ), это приводит к неэффективному алгоритму, который экспоненциально влияет на размер входных данных. $n$ $\log m$ $O(\sqrt m)$ $O(1)$ $k$ $n$

Альтернативный подход заключается в том, чтобы просмотреть возможные значения (достаточно проверить ) и при каждой проверке на возможные значений. Затем мы можем использовать: $k$ $\{2,3,\ldots,2\log m\}$ $n$

{(\frac{n}{k})}^{k} < (\binom{n}{k}) < \frac{n^{k}}{k!}

$\left(\frac{n}{k}\right)^k<{n\choose k}< \frac{n^k}{k!}$

Таким образом, для данного нам нужно проверить только значений в диапазоне , Делая это с помощью бинарного поиска (когда фиксировано, монотонно возрастает по ), это дает полиномиальный алгоритм, работающий в . $k$ $n$ $[\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}k]{m\cdot k!},\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}k]{m}\cdot{k}]$ $k$ $n \choose k$ $n$ $O(\log^2m)$

Это все еще кажется мне неэффективным, и я думаю, что это может быть решено за линейное время (в размере ввода).

algorithms combinatorics

— RB
источник

что ты уже испробовал? Подсказка: предположим, что тоже было дано. Не могли бы вы решить это тогда? Каков диапазон возможных значений для ? Или предположим, что было задано; Вы могли бы решить это в этом случае? Каков диапазон возможных значений для ?

n

$n$

n

$n$

k

$k$

k

$k$

— DW

Это не правда, что . Например, . $(n-k)^k<{n\choose k}$ ${9\choose 2} = 36 < 49 = (9-2)^2$

Я (пока) не нашел тонкого решения с использованием арифметических свойств биномиальных коэффициентов, однако могу предложить несколько грубых, если это поможет :-)

Для каждого вы можете решить для , взяв начальное предположение (скажем, ) и используя аналитический метод, такой как Ньютон-Рафсон. Вы хотите решить . Производная левой части по имеет вид где - функция дигаммы, которую легко вычислить , $k$ $n$ $\sqrt[k]{k!\cdot m}$ ${n\choose k} - m = 0$ $n$ $(\psi(n+1)-\psi(n-k+1)){n\choose k}$ $\psi$

Сложность поиска Ньютона-Рафсона зависит только от сложности вычисления функции и ее производной, а также от количества цифр, необходимых для решения (в нашем случае нам просто нужно ближайшее целое число).

Таким образом, в целом для каждого поиск должен быть (при условии, что, как вы, кажется, и сделали, вычисление биномиального коэффициента занимает постоянное время), следовательно, общая сложность алгоритма, использующего ваши оценки для , будет . $k$ $O(1)$ $k$ $O(\log(m))$

— Дэвид Даррлман
источник

Хотя я согласен, что границы были отменены (см. Редактирование, спасибо за это), можете ли вы объяснить, почему поиск, учитывая принимает ?

k

$k$

O (1)

$O(1)$

— РБ