Групповой изоморфизм в граф изоморфизм

Читая некоторые блоги о сложности вычислений (например, здесь ), я усвоил идею, что решить, изоморфны ли две группы, проще, чем тестировать два графа на изоморфизм. Например, на указанной странице говорится, что изоморфизм графов является более общей проблемой, чем изоморфизм групп.

Поэтому я ставлю следующее

По заданной группе кто-то может дать конструкцию графа полинома по размеру втакой, что для групп иΓ ( G ) | G | Γ ( G ) ≅ Γ ( H $G$$\Gamma(G)$$|G|$G H

$$\Gamma(G) \cong \Gamma(H) \iff G \cong H$$ $G$$H?$

Сокращение описано в классической статье Миллера.

Не так быстро. Здесь есть большая скрывающаяся двусмысленность:

Как вы вводите свою группу для расчета?

В отличие от графиков, группы могут быть введены, что означает, что они сильно различаются с точки зрения размера ввода и получаемой сложности. Версия, цитируемая Миллером, является одной из наименее естественных, и, например, вы не найдете ее в системе компьютерной алгебры, такой как GAP, Magma или Sage. Так что, хотя у него есть теоретическая предпосылка, было бы слишком далеко называть это решением проблемы.

1. Генераторы и отношения: групповой изоморфизм неразрешим (граф изоморфизм разрешим).

Если история победит, то первое упоминание о проблеме группового изоморфизма было сделано Максом Деном в 1905 году. Он предполагал, что группы будут вводиться генераторами и отношениями. Адьян и Рабин в 1950-х годах доказали, что проблема неразрешима . Такая ситуация возникает, даже если группа тривиальна. Так что это не просто проблема кардинальности. Ключевая проблема заключается в том, что вы можете создать группы которых нужно решить, будет ли решать проблему переписывания, которая не является примитивно-рекурсивной. Подобно проблемам с остановкой типа, это невозможно сделать.$G$$G=1$

Для групп, вводимых образующими и отношениями: изоморфизм групп сложнее, чем изоморфизм графов, фактически неразрешим.

2. Входные данные, используемые программными системами: изоморфизм групп перестановок и групп матриц, по крайней мере, такой же сложный, как изоморфизм графов (не наоборот).

Эта модель ввода предполагает, что группы кодируются некоторым естественным способом, скажем, как перестановки на конечном множестве или как матрицы над кольцом или полем. Это методы, введенные Кэнноном и Нойбузером в первые системы компьютерной алгебры в 1960-х годах, которые стали GAP и Magma. В этой модели вы можете встроить проблему изоморфизма графов в проблему изоморфизма групп. Смотрите, например, работу Хейнекина-Либека. С тех пор он был выполнен в других формах такими, как Сергейчук. Основная идея состоит в том, чтобы встроить матрицу смежности графа в отношения -группы.$p$

Для группового ввода для программных систем: изоморфизм групп, по крайней мере, так же сложен, как и изоморфизм графов.

3. Теоретические входы сложности: Для группового ввода черного ящика групповой изоморфизм неизвестен в NP или co-NP (изоморфизм графов присутствует в обоих).

Это модель для групп, предложенная Бабаи-Семереди, в которой ничего не говорится о входных данных, за исключением того, что им предоставляются функции (удельная стоимость) для групповых операций умножения, инвертирования, проверки равенства и набора генераторов. В своей статье «О сложности проблем матричных групп» они обсуждают эту проблему и заканчивают ее в . Ключевая проблема в том, что вы даже не можете определить сертификат изоморфизма (таким образом, его нет в NP), потому что у вас есть только генераторы групп. Таким образом, обеспечить фактический изоморфизм невозможно, и экспоненциально больше, и из одних генераторов вы не можете знать, если$\Sigma^2$$f:G\to H$$G$$H$$f$является допустимым гомоморфизмом. Как минимум, вам, кажется, нужно представление групп, а это нелегко получить.

Для групп черного ящика: групповой изоморфизм, по крайней мере, так же сложен, как и изоморфизм графов.

4. Входные данные таблицы Кейли.

Когда-то в 1970-х годах Тарьян, Пултр-Хедерлон, Миллер и другие заметили, что группы, введенные по всей их таблице умножения, также можно рассматривать как графики. Таким образом, изоморфизм группы сводится к изоморфизму графа за полиномиальное время. Миллер пошел гораздо дальше с этим наблюдением, что многочисленные комбинаторные структуры делают то же самое, например, Штейнер утраивается. Он также продемонстрировал, что изоморфизм полугруппы эквивалентен изоморфизму графа.

Недавно Бабай доказал, что изоморфизм графов находится в квазиполиномиальном времени, а редукции теперь оценивают сложность около , что является как раз наиболее известной оценкой изоморфизма групп для групп, заданных таблицей Кэли. В то время как никто не показал, что эти две проблемы эквивалентны полиномиальному времени, представленные сроки предполагают более тесную связь, чем ожидалось.$n^{O(\log n)}$

Для таблиц Кэли: изоморфизм групп сводится к изоморфизму графа.

Какой вход является «правильным» входом группы? Что ж, колмогоровская сложность конечной группы порядка равна что примерно равно входным размерам методов 1-3 выше. Эти методы ввода естественны и легко создаются, например, путем вычисления порождающих перестановок кубика Рубика или анализа порождающих циклов фундаментальной группы. Поэтому имеет смысл, что большая часть теории и практики группового изоморфизма использует эти модели.$n$$O((\log n)^3)$

Тем не менее, хотя ни одна система вычислительной алгебры не использует таблицы Кэли, а в большинстве теоретических компьютерных наук используются такие структуры, как группы перестановок, группы матриц и группы черного ящика, все еще существует хорошая защита для перспективы таблицы Кэли. Вообще колмогоровская сложность таких структур, как полугруппы, имеет порядок и - теорема Маршалла Холла. И поэтому вы не можете вводить полугруппы более кратко, чем по таблице умножения. Поэтому, когда вы хотите сравнить сложность группового изоморфизма с другими естественными структурами (квазигруппами, петлями, полугруппами и т. Д.), Имеет смысл договориться об общей модели ввода.$n$$O(n^2 \log n)$