Каковы будут реальные последствия конструктивного

У меня есть общее понимание проблемы и я понимаю, что если бы это было абсолютно «доказано», чтобы быть правдой с предоставленным решением, это открыло бы дверь для решения многочисленных проблем в области компьютерных наук.$P=NP$

Мой вопрос: если бы кто-то опубликовал неоспоримое, конструктивное доказательство , каковы некоторые непосредственные последствия такого открытия? $P=NP$

Я не спрашиваю мнений о том, как будет выглядеть мир через 5-10 лет. Вместо этого, я понимаю, что это настолько принципиально неразрешимая проблема, что она может радикально изменить способ, которым мы вычисляем ... многие вещи (да, это то, где мое невежество показывает ...), которые мы не можем легко вычислить сегодня ,

Какое непосредственное влияние окажет тщательное, точное и конструктивное доказательство на практический мир?$P=NP$

Люди дали хорошие ответы, предполагая, что с некоторой действительно большой константой. Я собираюсь сыграть в оптимиста и предположить, что мы находим доказательство P = N P с ничтожно малой константой. Возможно , маловероятно, но я буду стараться , чтобы дать некоторое представление о том, какие виды вещей произошло бы , если бы мы могли эффективно решать все N P проблем.$P=NP$$P=NP$$NP$

• Компиляторы: некоторые компьютерные программы будут работать немного быстрее, поскольку компиляторы используют раскраску графиков для распределения регистров. Мы могли бы выделить для большого количества регистров точно. Существующие компиляторы, использующие приближенное решение (например, хордовые графы), получат лучший результат, а компиляторы, использующие точное решение, получат быстрее.

• Расположение объекта: предприятия смогут найти оптимальное место для размещения фабрик и снабжения складов для доставки в свои магазины, когда возможно тысячи магазинов и фабрик. Скорее всего, не будет существенным улучшением по сравнению с современными приближениями, но сократит затраты.

• Покупка билетов на самолет: авиабилеты странные, так как они не следуют равенству треугольника. Иногда дешевле лететь из A -> B -> C, чем напрямую из A -> C, что не подходит при моделировании расстояний. Было бы легко создать сайт, который найдет самую дешевую последовательность рейсов, которые посещают несколько городов, начинаются и заканчиваются в вашем родном городе.

• Схемотехника: электрические схемы на чипе в основном булевы формулы. Такие вещи, как минимизация, могут быть эффективно рассчитаны, поэтому наше оборудование станет немного более эффективным.

• Планирование: сумасшедший, что ваша школа сдавала два ваших экзамена одновременно? Если ваша школа может указать, сколько временных интервалов им нужно, чтобы ни у одного ученика не было конфликта, либо с учетом количества временных интервалов минимизировать количество конфликтов.$P=NP$

Это просто пример практического применения, которое мы увидели бы, если бы -полнота не была барьером. Я уверен, что я скучал по многим, но если бы данная конструкция имела хорошую константу, последствия были бы далеко идущими.$NP$

Мы не обязательно увидим какие-либо эффекты. Предположим, что кто-то находит алгоритм, который решает 3SAT для переменных в 2 100 n базовых операциях. Вы не сможете запустить этот алгоритм ни в одном случае, так как он занимает слишком много времени. Или предположим , что она находит алгоритм работает в п 100 базовых операций. Мы сможем использовать его только в экземплярах 3SAT для одной переменной, поскольку для большего количества переменных это занимает слишком много времени.$n$$2^{100} n$$n^{100}$

С другой стороны, предположим, что P NP и что даже более сильная экспоненциальная гипотеза времени верна. Тогда в целом 3SAT должен быть неотвратимым. Тем не менее, SAT решатели, кажется, хорошо справляются с определенными проблемами.$\neq$

Что тут происходит? Есть несколько проблем с вопросом P против NP:

1. Это касается только худшего случая.
2. Это только асимптотика.
3. Все полиномиальные границы времени одинаковы.

Эти проблемы ставят под сомнение его актуальность для реального мира. Теперь может случиться так, что для 3SAT найден действительно быстрый алгоритм, настолько быстрый, что даже симметричное шифрование станет взломанным. Но я считаю это крайне маловероятным. С другой стороны, совершенно точно, что P отличается от NP, а факторинг является практичным; это нарушило бы определенные схемы шифрования с открытым ключом. Это вероятная ситуация, которая будет иметь последствия, но она не связана с вопросом P против NP.

Вопрос P против NP может быть естественным с математической точки зрения, но его практическая значимость, на мой взгляд, сомнительна. Исследования по этому вопросу, с другой стороны, могут иметь или не иметь практических последствий; он не руководствуется этим аспектом.

Очень приятно читать здесь [1], где Impagliazzo рассматривает пять возможных «миров», где отношения между классами сложности различны. Например, в мире, называемом Algorithmica (см. Раздел 2.1), мы имеем (или какой-то другой «моральный эквивалент», такой как N P ⊆ B P P ).$\sf P = NP$$\sf NP \subseteq BPP$

В Algorithmica практически любая проблема оптимизации будет тривиальной. Языки программирования могут быть языками, в которых один вид свойств должен обладать желаемым выходом по отношению к входному, а не определять, как должны выполняться вычисления. Компьютеры также могут найти доказательства для любой теоремы во времени, примерно равной длине доказательства. (Это мнение, конечно, очень оптимистично и зависит от эффективного алгоритма для некоторой -полной задачи).$\sf NP$

[1] Рассел Импальяццо. Личный взгляд на сложность среднего случая. Конференция сложности, 1995.

Даже без P = NP современные компьютеры невероятно мощные.

• 12873891274647018937561708356916501047777612653914909670721635802187 может быть учтено одним компьютером менее чем за секунду.
• Для более сложных задач, таких как синтез электрической схемы чипа из более высокого уровня описания его функций или исправление фотомасок для компенсации артефактов в процессе производства, кластеры из многих сотен компьютеров работают целый день, чтобы сделать невозможное.
• Современные компьютеры способны доказать математические теоремы, которые не смог доказать ни один человек, например, алгебры Робинса являются булевыми или что определенная константа, которая предположительно не ограничена ( проблема расхождения Эрда ), больше 2.
• Программы статического анализа исходного кода способны выявлять уязвимости, такие как ошибка Heartbleed .
• Инструменты автоматического рассуждения, такие как prover9 или -E-теорема- доказатель, способны доказать большинство общих алгебраических характеристик обратных полугрупп и сильно регулярных колец без какой-либо явной помощи.

Редактировать 22 января 2018 г. Теперь я узнал, как я должен был «интерпретировать» текст, приведенный в примере ниже. Это была моя вина, обратный элемент должен был быть уникальным . Вот мой входной файл от 22 декабря 2014 года ( addinvrig.in ), а вот фиксированный входной файл с сегодняшнего дня ( addinvrigFixed.in ). Важнейшая черта заключается в том, что (x+(-x))+((-y)+y)=((-y)+y)+(x+(-x)).мощь самих инструментов автоматизированного рассуждения по-прежнему очаровывает меня, даже если они не могут спасти меня от неверного истолкования произведений других людей.

Использование инструментов автоматического рассуждения удивительно полезно для меня, когда я сталкиваюсь с цитируемыми теоремами, в которых я не уверен, как «интерпретировать» текст :

$x, y \in S$$(x \cdot y)' = x' \cdot y = x \cdot y'$$x' \cdot y' = x \cdot y$
$a \in aS \cap Sa$$a \in S$$S$

Я адаптировал свои входные файлы prover9 для этой теоремы, и мне сразу же показали контрпример для этой теоремы в цитируемом виде. Немного изменив предположения, мы получили много похожих истинных теорем, что делает наиболее вероятным, что Карвелла фактически сформулировал и доказал правильную теорему, которая только здесь была неправильно процитирована. Погуглив для ссылки на эту теорему, я нашел еще одну статью, в которой цитировал Карвелла еще менее точно .

Это невероятно неполный сборник компьютерных результатов для конкретных задач, которые вообще трудно решить, если P! = NP. Возможно, эта коллекция дает понять, по крайней мере, некоторым читателям, что мы все склонны недооценивать возможности компьютеров в этой области. Многие другие ответы на этот вопрос предполагают, что не будет больших последствий, если компьютеры будут (немного) лучше решать неразрешимые проблемы. Но компьютеры все лучше решают неразрешимые проблемы (потому что на это уходит достаточно времени и денег), и это имеет очень реальные последствия. Если P = NP будет доказано, то, возможно, возрастет осознание того, что компьютеры могут делать (даже сегодня), и все больше людей будут использовать компьютеры, чтобы помогать им в таких задачах. (PS: я убежден, что P! = NP,

Существует много мнений о реальных значениях P = NP. Как видно из других хороших ответов, есть в основном 2 школы мысли. Одна из них заключается в том, что алгоритм P-времени может быть очень трудным или неосуществимым для реализации из-за «неожиданных аномалий», связанных с абстракцией. например:

• программа может быть слишком большой для кода
• может иметь место очень большая константа, так что для всех случаев, находящихся в пределах досягаемости «наземных вычислений», они все еще продолжительны, то есть эффективность не «включается», за исключением очень больших случаев. известно, что некоторые алгоритмы действительно вписываются в этот случай, как недавно указал Кнут (вопрос 15)

В общем, я ищу больше внимания алгоритмам, которые работают быстро по отношению к проблемам, размер которых n возможен. Большая часть современной литературы посвящена алгоритмам, которые асимптотически велики, но они полезны только тогда, когда n превышает размер вселенной.

Impagliazzo проводит знаменитое исследование, приведенное Дж. В другом ответе. Тем не менее, его эссе тем временем несколько экстраполировалось. Вот отличная новая ссылка от эксперта, который решает этот вопрос в своего рода научно-фантастическом сценарии будущего, ch2 / p11. подведение итогов

Золотой билет: P, NP и поиск невозможного от Lance Fortnow

• «Если окажется, что P = NP, и у нас есть эффективные алгоритмы для всех проблем NP, мир изменится таким образом, что Интернет будет казаться сноской в ​​истории. Не только невозможно описать все эти изменения, но и Самые большие последствия новых технологий было бы невозможно предсказать ».

• Алгоритм быстро реализован на суперкомпьютере. Boeing немедленно заключает контракт на лучшую конструкцию крыла для нового самолета, позволяющего ему беспосадочно летать из Лондона в Сидней.

• Алгоритм поиска используется для поиска нового алгоритма, который работает еще быстрее, оптимизируя исходное решение P = NP. Заканчивается результатом 42 миллиона строк неразборчивого кода. Называется "алгоритм Урбана"

• Алгоритм, используемый для поиска индивидуальных методов лечения рака / лечения близких к людям. лечит рак, СПИД, диабет, но простуда остается загадкой

• Алгоритм супер-планирования позволяет прогнозистам «делать невероятные улучшения в прогнозировании погоды, позволяя делать точные прогнозы температуры, ветра, облачности и осадков почти на год раньше. Подобные алгоритмы теперь спасают жизни благодаря точному прогнозированию штормов, торнадо, ураганов, чтобы люди могли подготовить или эвакуировать по мере необходимости. "

• Очень точное распознавание лица

• Компьютер может реконструировать 3d модели сцены в режиме реального времени с разных ракурсов

• Компьютерные алгоритмы управляют работой камеры для спортивного события (вместо контролируемого человеком)

• Автоматические комментарии и повторы генерируются алгоритмом, включающим правильно выбранные углы и статистику, и генерируются на любом языке в режиме реального времени.

• Фэнтези-бейсбол / спорт обретают новое измерение с высокоточными симуляциями

• Вкусовые рецепты улучшены по алгоритму

• Алгоритм может быть использован для «изучения всего, что угодно, включая то, что делает хорошее искусство, популярную музыку и слова, которые волнуют душу. Помните, что P = NP означает, что то, что мы можем проверить, мы можем найти. Поэтому, как только у вас есть алгоритмический Процесс признания величия, вы можете использовать алгоритм снова, чтобы быстро найти это величие ".

• Политик использует компьютерный алгоритм, чтобы распознавать великие речи и генерировать те, которые соответствуют шаблонам. Речь идет в интернете.

• Люди создают полные произведения искусства из неполного / незаконченного искусства, например, симфонии. они используют алгоритм для генерации новых записей Битлз / Элвис. Новое искусство, романы, пьесы и поэзия, например, романтическая комедия с Хамфри Богартом / Джулией Робертс.

• Amazon может создать индивидуальный роман для частных лиц по запросу. NBC создает приключенческий телесериал, созданный исключительно на компьютере

• Имитация виртуальной реальности в видеоиграх, допускающая любые действия игроков вместо фиксированного набора возможных сюжетных линий.

• Правоохранительные органы используют алгоритм как «невероятный инструмент для раскрытия преступлений, который, по-видимому, делает невозможное для выявления подозреваемых». Компьютерный алгоритм может реконструировать вероятные лица (для составных набросков), используя только ДНК. Полиция подбирает подозреваемого в убийстве, используя массивный поиск в базе данных фотографий водительских прав, выровненной по сгенерированному эскизу (из ДНК).

К сожалению, не так много, что изложено выше в Fortnow, подтверждается фактической научной литературой, за исключением, может быть, творческой экстраполяции миров Импальяццо. Чтобы разобраться в этом по пунктам, потребовалось бы гораздо больше, но, резюмируя, все это кажется занимательным, но фантастическим / желанным мышлением (или, может быть, это его завуалированная точка зрения). На самом деле существуют научные принципы, которые противоречат многим пунктам. И обратите внимание, что Fortnow - фанат спорта, поэтому он разрабатывает расширенную метафору в этой области, но может ли это быть признаком того, что люди думают в ритме ?

Например, известно, что «эффект бабочки» подразумевает, что точное прогнозирование погоды за (скажем) горизонтом в несколько дней невозможно из-за «чувствительной зависимости от начальных условий» (и Фортнау позже признался в своем блоге в неоднократной критике именно этого). точка). Кроме того, есть много доказательств того, что компьютеры не справляются с весьма субъективными для человека задачами, такими как создание или идентификация влиятельного искусства (задача, которая даже опытным людям не удается последовательно).

Собственно весь вопрос доходящий гипотетической ситуации или ложная предпосылка . Обратите внимание, что подавляющее большинство опрошенных ученых-ученых считают, что, несмотря на отсутствие неопровержимых доказательств, P ≠ NP. и естественно сравнить его с другими известными законами / ограничениями / ограничениями, такими как термодинамика (например, невозможность вечного движения / свободная энергия ) и статистикой, например, «теорема об отсутствии бесплатного обеда» .

Таким образом, суть в том, что, возможно, даже опытные ученые не могут точно предсказать исход P = NP. Поэтому, возможно, лучший ответ на данный момент - признать, что у людей нет хорошего ответа в это время.

P против NP, технически против морали

$O(n^2)$$O(n^{\lg^* n})$$2^{65536}+2^{1024}n^{256}$$O(n^{\lg n})$

Так что же будет, если P = NP морально верен?

$Q$$Q$Правда тогда все эти проблемы можно решить очень быстро. Просто для примера, вы можете узнать лучшие веса для очень сложных моделей машинного обучения. Вы можете нарушить протоколы шифрования.

$\neq$

$\neq$

$\neq$

$\neq$

$\neq$

Если вы знаете, что хотите решить NP-полную проблему не на общих входных данных, а на входных данных с определенными свойствами, вам не нужно заботиться об общей проблеме. Вам нужно только решить более простую проблему. К сожалению, зачастую нелегко определить, какой вклад вам нужен на практике.

$\neq$

Какого рода непосредственное влияние окажет тщательное и точное доказательство P = NP с предоставленным решением на практический мир?

Скорее всего, из этого выйдет много замечательных вещей, но никому нет до этого дела.

Проблема заключается в том, что в основе (почти) всего современного шифрования лежит предположение, что P не равно NP. Шифрование, которое защищает ваш пароль при его передаче через Интернет и при сохранении в базах данных. Шифрование, которое защищает данные кредитных карт при передаче через Интернет ... Шифрование, которое защищает миллиарды ежедневных финансовых транзакций, которые связывают нашу глобальную экономику с гигантским организмом.

В лучшем случае P = NP означает, что останавливается. Люди возвращаются к использованию наличных денег, и банки пытаются записать снятие наличных на некотором отключенном носителе, поскольку транзакции в центральный офис уже не заслуживают доверия. Это длится, возможно, несколько месяцев, пока лучшее шифрование не будет реализовано во всем мире. Лучший случай.

В худшем случае, P = NP означает, что кто-то разрушает мир. Валюта построена на концепции доверия. Вы цените доллар, потому что вы уверены, что ваш сосед даст вам долларовую сумму товаров или услуг за это. Вы цените свой компьютер, говоря, что у вас есть 500 долларов в банке, потому что вы можете сильно ударить карту и получить товары и услуги на 500 долларов ...

Что делать, если вы не могли доверять этому? Если P = NP, кто-то может выдавать себя за различные банки, правительство, людей - и эффективно рандомизировать количество валюты на каждом счете. Удалить валюту в каждом аккаунте. Конечно, различные банки имеют резервные копии для учета этого, но как долго их шифрование было взломано? Какие транзакции были хорошими, а какие были олицетворены? Это невозможно знать.

Как только это доверие разрушено, наступает хаос. Любые выгоды от возможности справиться с проблемой коммивояжера (например) игнорируются, так как люди пытаются прокормить себя.

Реальность, вероятно, где-то посередине, но, надеюсь, это рисует достаточно большую картину того, насколько важна эта проблема.

Произойдет значительное сокращение расходов на оборудование, электричество и облачные подходы. Многие вещи сейчас рассчитываются с использованием грубой силы или приближений, в которых все еще используется тяжелое грубое принуждение. Мы больше не будем делать все эти массово-парализованные вычисления грубой силы.

Это ни в коем случае не единственное использование облачных вычислений, но оно все еще будет заметным фактором использования энергии, облачной обработки и т. Д. Только экономия энергии может быть заметна на нашем углеродном следе.

ИИ тоже станет намного лучше. Наконец-то у нас может быть компьютер, который может стать лучшим игроком в GO, и ваш графический калькулятор превзойдет вас в шахматах.

$\ne$

И опровержение гипотезы не означает, что все проблемы практической полезности будут решены одним щелчком мыши. Во-первых, они все еще могут быть сложнее, чем NP.