Почему мы считаем, что PSPACE P EXPTIME?

У меня возникают проблемы с интуитивным пониманием того, почему PSPACE обычно отличается от EXPTIME. Если PSPACE является множеством задач, разрешимых в пространственном полиноме с входным размером $f(n)$ , то как может быть класс задач, которые испытывают большее экспоненциальное увеличение времени и не используют экспоненциальное пространство?

Ответ Ювала Фильмуса уже чрезвычайно полезен. Тем не менее, может кто - нибудь эскиз мой свободный аргумент , почему это может быть так , что PSPACE ≠ EXPTIME (т.е. PSPACE не является собственным подмножеством EXPTIME)? Разве нам не понадобится экспоненциальное пространство, чтобы преодолеть верхнюю границу для общего числа конфигураций системы, достижимого с пространством, которое масштабируется полиномиально с размером входного сигнала? Просто я могу понять, почему EXPTIME E EXPSPACE является открытым вопросом, но мне не хватает понимания отношений между PSPACE и EXPTIME.

Давайте обновим определения.

• PSPACE - это класс задач, которые могут быть решены на детерминированной машине Тьюринга с полиномиальными границами пространства: то есть для каждой такой проблемы существует машина, которая решает задачу, используя не более $p(n)$ ячеек ленты, когда ее вход имеет длину  $n$ , для некоторого полинома  $p$ .

• EXP - это класс задач, которые могут быть решены на детерминированной машине Тьюринга с экспоненциальными временными рамками: для каждой такой проблемы существует машина, которая решает задачу, используя не более $2^{p(n)}$ шагов, когда ее вход имеет длину  $n$ , для некоторый полином  $p$ .

Во-первых, мы должны сказать, что эти два класса могут быть равны. Скорее всего, они различаются, но иногда классы оказываются одинаковыми: например, в 2004 году Рейнгольд доказал, что симметричное пространство журналов совпадает с обычным пространством журналов; в 1987 году Иммерман и Селецкий независимо доказали, что Н.Л.$\;=\;$co-NL (и, фактически, это NSPACE [ $f(n)$ ]$\;=\;$$f(n)$$f(n)\geq \log n$

$p(n)$$n$

$p(n)$$2^{p(n)}$$p(n)$$k$$T(n) = k\,p(n)\,2^{p(n)}\!$$T(n)+1$$p(n)$$k\,p(n)\,2^{p(n)}$$2^{q(n)}$$q$$\;\subseteq\;$EXP .

$2^{p(n)}$$2^{p(n)}$

$n$с другой стороны, вы можете не только просматривать каждое подмножество, но вам не нужно повторно использовать свое рабочее пространство, чтобы вы могли вспомнить, что вы узнали о каждом из них в отдельности. Кажется, это должно быть более мощным.

Другая интуиция, объясняющая, почему они должны отличаться, заключается в том, что теоремы о иерархии времени и пространства говорят нам, что выделение даже чуть-чуть большего пространства или времени строго увеличивает возможности вычислений. Теоремы об иерархии позволяют только сравнивать подобное с подобным (например, они показывают, что PSPACE$\;\subsetneq\;$$\;\subsetneq\;$

Машина, работающая в экспоненциальном времени, может использовать экспоненциальное пространство. Так что априори может быть так, что машины, ограниченные полиномиальным пространством, будут слабее. Аналогичная ситуация возникает для P и L. Машина, работающая за полиномиальное время, может использовать полиномиальное пространство, поэтому априори может быть так, что машины, ограниченные логарифмическим пространством, будут слабее. Даже предполагается, что P отличается от NL, недетерминированного аналога L. (Для PSPACE соответствующие гипотезы эквивалентны, так как PSPACE = NPSPACE из-за теоремы Савича.) К сожалению, мы не знаем, как доказать эти гипотезы. В данный момент. Гипотеза EXPTIME PSPACE сильнее, поскольку она подразумевает P NL через аргумент заполнения.$\neq$$\neq$