Бесконечный алфавит Тьюринга

9

Является ли машина Тьюринга, которому разрешено чтение и запись символов из бесконечного алфавита, более мощной, чем обычная ТМ (единственное отличие, у машины все еще есть конечное число состояний)?

Интуиция говорит мне, что нет, так как вам нужно бесконечное количество состояний, чтобы дифференцировать каждый символ. Поэтому я думаю, что некоторые из символов или переходы, вызванные символами (или некоторые подмножества переходов) должны быть эквивалентными. Таким образом, вы можете смоделировать такую машину с помощью обычной ТМ и ограниченного подмножества таких символов или переходов.

Как я могу подойти к формальному доказательству этого?

— ZAD
источник

7

Одновременно кросспостить на CSTheory. Пожалуйста, не делай этого. Это делает ваш вопрос более важным, чем другие. Это, вероятно, больше подходит здесь.

— Юхо

17

Нет, это было бы более мощным. Функция перехода больше не будет конечной, и это дает вам много энергии.

С помощью бесконечного алфавита вы можете закодировать любой элемент ввода из бесконечного набора в один символ (хотя входной набор не может быть «более бесконечным», чем набор алфавита, например, алфавит, предположительно, будет только счетно бесконечным, так что элементы неисчислимого числа множества, подобные действительным числам, не могут быть представлены одним символом). И аналогично для выхода.

Таким образом, вы можете создать бесконечный алфавит-ТМ с двумя состояниями (одно начальное, одно принимающее) с одним переходом, который переходит в состояние принятия и меняет символ под головкой ленты в соответствии с функцией, которую вы пытаетесь вычислить. Этот рецепт позволит вам вычислить любое сопоставление между наборами, которое можно поместить в однозначное соответствие с алфавитом.

Поэтому, чтобы избежать того, что вырожденная машина будет ответом на все вопросы, вам нужно ограничить возможности функции перехода. Очевидным было бы требование, чтобы сама функция перехода была вычислимой (обычные функции перехода ТМ в конце концов тривиально вычислимы, поскольку они конечны). Но тогда вы пытаетесь использовать вычислимые функции для определения вашей модели вычислимых функций.

— Бен
источник

6

Приведенный выше ответ является правильным, но можно сказать немного больше о бесконечных алфавитах и вычислимости.

Машина Тьюринга описывается в WP как в которой все множества конечны. Таким образом, функция перехода обязательно конечна. $M = (Q, \Gamma,b,\Sigma,\delta, q_0, q_f)$

δ : Q / F \times Γ \to Q \times Γ \times {L, р}

$\delta: Q / F \times \Gamma \rightarrow Q \times\Gamma \times \{L,R \}$

В машине с бесконечным алфавитом мы заменили бы входной алфавит , скажем, и поэтому алфавит ленты на $\Sigma$ $\Sigma^{inf}$ а функцию перехода на подчиняясь: $\Gamma^{inf}$ $\delta^{inf}$

δ^{я N е} : Q / F \times Γ^{я N е} \to Q \times Γ^{я N е} \times {L, р}

$\delta^{inf}: Q / F \times \Gamma^{inf} \rightarrow Q \times\Gamma^{inf} \times \{L,R \}$

Итак, $\delta^{inf}$ $\delta^{inf}$

Основная проблема заключается в том, что конечный алфавит представлен полностью (поэтому мы можем выбрать рекурсивное определение наших функций), но бесконечный алфавит никогда не может быть представлен полностью. Так какой механизм генерирует алфавит?

$A=\{a,b\}$ $L \subset A^*$ $\in L$ $\alpha = <abaab> \in \Gamma^{inf}$ $L$ $<abaab>$

$L$

$\delta^{inf}$ $L$ $L$ $L$ $\Gamma^{inf}$ $f$ $\Gamma^{inf}$ $f$ $f$ $\delta^{inf}$

$L$

$<n>\in \Gamma^{inf}$ $\phi_{n}(n)$ $\Gamma^{inf}$ $f$ $\Gamma^{inf}$ $\Delta_2^0$ $\delta^{inf}$ не может быть рекурсивным

$S\in\Gamma^{inf}$ $S$ $f$ $\Gamma^{inf}$

— Рой Симпсон
источник