Фиксированная точка, что это значит в мире информатики

Я постоянно сталкиваюсь со ссылками на фиксированную точку в вопросах и ответах на stackexchange и просматриваю смысл в Интернете, очевидно, находя ссылки на таких сайтах, как Wikipedia. Однако ни одна из ссылок не отвечает на мой вопрос о том, что такое фиксированная точка и что это значит в мире информатики.

В информатике, пожалуй, наиболее заметное использование фиксированных точек в теории решетки ¹. Решетка является частично упорядоченным множеством с дополнительным свойством, которое дает любые два элемента x , y ∈ S , множество { x , y } имеет как супремум, так и инфимум (в S ).$(S, \leq)$$x,y \in S$$\{x,y\}$$S$

Теперь вы часто рассматривают монотонные функции на этой решетке, «сходиться», то есть для некоторого х ∈ S у вас есть п ( х ) = х . Важные результаты в этой области являются теорема о неподвижной точке Клини и теорема Кнастера-Тарского .$f$$x \in S$$f(x)=x$

Ярким примером является решетка для некоторого множества A и f, индуцированная индуктивным определением. Например, пусть А = { , Ь } * и определим язык L ∈ 2 { , Ь } * по$(2^A,\subseteq)$$A$$f$$A = \{a,b\}^*$$L \in 2^{\{a,b\}^*}$

$\qquad \begin{align} \phantom{w \in L} &\phantom{\implies} \varepsilon, a \in L \\ aw \in L &\implies baw \in L \\ bw \in L &\implies abw, bbw \in L \end{align}$

Это индуктивное определение соответствует монотонной функции

$\qquad \displaystyle f(A) = \{\varepsilon, a\} \cup A \cup \{baw \mid aw \in L\} \cup \{abw, bbw \mid bw \in L\}$

По теореме Кнастера-Тарского, мы знаем , имеет наименьший неподвижной опоры , которая является гранью всех меньших «промежуточных результатов» (которые соответствуют конечным часто применяя конструкторы индуктивного определения), а наименьшая неподвижная точка является действительно L .$f$$L$

Кстати, самая большая точка фиксации также имеет применение; см. здесь для примера.

В теории рекурсии есть еще одна теорема о неподвижной точке, также связанная с Клини. Это говорит ²,

Пусть - нумерация Гёделя ³ и r : N → N - полная вычислимая функция (интуиция: компилятор). Тогда существует такое i ∈ N , что φ r ( i ) = φ i .$\varphi$$r :\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$i \in \mathbb{N}$$\varphi_{r(i)}=\varphi_i$

На самом деле, таких даже бесконечно много ; если бы там было только конечное число, мы могли бы залатать r (путем поиска в таблице), чтобы не иметь неподвижных точек, что противоречит теореме.$i$$r$

1. Каждый использует это каждый день, даже если вы этого не понимаете.
2. Мне не нравится эта статья в Википедии; Вам, наверное, лучше проверить книгу жанров.
3. Специальный вид нумерации функций. Для интуиции, думайте об этом как о (полном по Тьюрингу) языке программирования.

Позвольте мне немного подробнее остановиться на ответе Мейстерлука: представьте, что мы пытаемся определить факториальную функцию: запомните определение факториальной функции:

fact 0     = 1
fact (n+1) = n*(fact n)

В настоящее время в некоторых рамках PL (а именно в расчете$\lambda$ ) не сразу понятно, как определить такую ​​функцию. Однако может быть легко определить следующую функцию более высокого порядка , так называемую, потому что она принимает в качестве входных данных другую функцию и натуральное число

Fact f 0     = 1
Fact f (n+1) = n * (f n)

В этом определении функции нет использования рекурсии. Однако, если есть какой - то способ найти починки точку в Fact, то есть, функция такая , что Fact φ п = φ п для каждого п , то легко проверить , что φ действительно является реализация функции факториала.$\phi$

$\lambda$

Существует много других применений понятия фиксированных точек в компьютерной науке, но большинство сводится к тому, что я показал выше, то есть доказать, что существуют определенные фиксированные точки, чтобы показать, что определенные функции или конструкции хорошо определены в Ваш каркас (здесь мы показали, что факториальная функция существует).

$f: A \to A$$x$$f(x)$$x$$x^2$$0$$1$$x^3$имеет три фиксированные точки. Математически это определение.

Теперь, в зависимости от математической структуры, с которой вы имеете дело, есть много разных причин интересоваться фиксированными точками. Например, если вы рассматриваете динамическую систему, которая смотрит на состояние мира и изменяет его (например, термостат), то фиксированная точка соответствует стабильной конфигурации. Если вы думаете об играх в математическом смысле теории игр, фиксированные точки соответствуют эквилибрии, если вы думаете о поведении подпрограммы оптимизации, которая итеративно улучшает ее решение, то фиксированная точка соответствует оптимальному решению. Таким образом, математическое понятие неподвижной точки имеет множество применений в самых разных контекстах.

Очень распространенным и фундаментальным применением фиксированных точек в информатике является математическое моделирование циклов и рекурсивных программ. Если мы попытаемся смоделировать программу как математическую функцию, циклы и рекурсия не будут очевидны для модели. Это связано с тем, что тело цикла является программой и может быть представлено в виде математической функции. Как мы получаем функцию, представляющую поведение цикла? Это соответствует повторному применению тела петли в сочетании с защитой петли, пока дальнейшие изменения невозможны. Точно так же, если мы математически моделируем рекурсивные программы, нам нужно математическое представление о том, что означает, что функция применяется сама. Этот ответ обеспечивается фиксированными точками.

Функция в математике представляет собой карту между входными и выходными значениями. Фиксированные точки - это входные значения (для функции), которые отображаются на выходные значения, удовлетворяющие равенству с входными данными.

Для функции равенства $f(x) = x$набор входных значений равен набору фиксированных точек функции. Для функции$f(x) = x^2$ набор фиксированных точек ограничен $\{0, 1\}$,

Что касается информатики, мы много говорим о частичных функциях , но это не меняет определения фиксированных точек для нас.

Вы также можете быть озадачены совершенно другой темой: арифметика с фиксированной запятой - это концепция представления действительных чисел в памяти. Но название «фиксированные точки» не относится к этой теме в целом (потому что есть только 1 точка).

Теория игр является основной областью CS, и важной концепцией является равновесие по Нэшу, которое является теоремой о неподвижной точке. это дает возможность определить оптимальные игровые стратегии, учитывая, что другие игроки знают стратегии друг друга. это может быть доказано с помощью теоремы Какутани о неподвижной точке или теоремы Брауэра о неподвижной точке . Нэш получил Нобелевскую премию по экономике частично за развитие этой теории.