Не все красно-черные деревья сбалансированы?

Интуитивно понятно, что «сбалансированные деревья» должны быть деревьями, где левое и правое поддеревья в каждом узле должны иметь «примерно одинаковое» количество узлов.

Конечно, когда мы говорим о том, что красно-черные деревья * (см. Определение в конце) сбалансированы, мы на самом деле имеем в виду, что они сбалансированы по высоте и в этом смысле они сбалансированы.

Предположим, мы пытаемся формализовать вышеуказанную интуицию следующим образом:

Определение: двоичное дерево называется $\mu$ сбалансированным, с $0 \le \mu \leq \frac{1}{2}$ , если для каждого узла$N$, неравенство

$$\mu \le \frac{|N_L| + 1}{|N| + 1} \le 1 - \mu$$

имеет место и для каждого , есть некоторый узел, для которого вышеприведенное утверждение не выполняется. | N L | число узлов в левом поддереве N и | N | число узлов в дереве с N в качестве корня (включая корень).$\mu' \gt \mu$$|N_L|$$N$$|N|$$N$

Я полагаю, что они называются деревьями с сбалансированным весом в некоторых публикациях по этой теме.

Можно показать, что если бинарное дерево с $n$ узлами сбалансировано по $\mu$ (для константы $\mu \gt 0$ ), то высота дерева равна $\mathcal{O}(\log n)$ , таким образом сохраняя хорошие свойства поиска.

Итак, вопрос в следующем:

Есть ли такие $\mu \gt 0$ , что каждое достаточно большое красно-черное дерево имеет $\mu$ баланс?

Используемое нами определение красно-черных деревьев (из «Введение в алгоритмы» Кормена и др.):

Двоичное дерево поиска, где каждый узел окрашен в красный или черный цвет и

• Корень черный
• Все пустые узлы черные
• Если узел красный, то оба его потомка черные.
• Для каждого узла все пути от этого узла к дочерним узлам NULL имеют одинаковое количество черных узлов.

Примечание: мы не учитываем NULL-узлы в определении сбалансированного выше. (Хотя я считаю, что это не имеет значения, если мы делаем).$\mu$

Претензия : Красно-черные деревья могут быть сколь угодно не- $\mu$ уравновешена.

Идея доказательства : заполните правое поддерево как можно большим количеством узлов, а левое - как можно меньшим количеством узлов для заданного числа $k$ черных узлов на каждом пути корневого листа.

Доказательство : определите последовательность $T_k$ красно-черных деревьев, чтобы у $T_k$ было $k$ черных узлов на каждом пути от корня до любого (виртуального) листа. Определить $T_k = B(L_k, R_k)$ с

• $R_k$ - полное дерево высотой$2k - 1$ с первым, третьим, ... уровнем, окрашенным в красный цвет, остальные в черный цвет и
• $L_k$ - полное дерево высоты$k-1$ все узлы которого окрашены в черный цвет.

Ясно, что все $T_k$ являются красно-черными деревьями.

Например, это $T_1$ , $T_2$ и $T_3$ соответственно:

^{[ источник ]}

^{[ источник ]}

^{[ источник ]}

Теперь давайте проверим визуальное впечатление огромной правой стороны по сравнению с левой. Я не буду считать виртуальные листья; они не влияют на результат.

Левое поддерево $T_k$ является полным и всегда имеет высоту $k-1$ и, следовательно, содержит $2^k - 1$ узлов. Правое поддерево, с другой стороны, полно и имеет высоту $2k - 1$ и, следовательно, содержит $2^{2k}-1$ узлов. Теперь значение $\mu$ баланса для корня

$\qquad \displaystyle \frac{2^k}{2^k + 2^{2k}} = \frac{1}{1 + 2^k} \underset{k\to\infty}{\to} 0$

что доказывает отсутствие $\mu > 0$ в соответствии с запросом.

Нет. Рассмотрим красно-черное дерево со следующей особой структурой.

• Левое поддерево - это полное двоичное дерево с глубиной , в котором каждый узел черный.$d$
• Правое поддерево - это полное двоичное дерево с глубиной , в котором каждый узел на нечетной глубине имеет красный цвет, а каждый узел на четной глубине - черный.$2d$

Нетрудно убедиться, что это действительное красно-черное дерево. Но количество узлов в правом поддереве ( ) примерно равно квадрату количества узлов в левом поддереве ( 2 d + 1 - 1 ).$2^{2d+1}-1$$2^{d+1}-1$