NFA с экспоненциальным числом состояний при обнаружении

10

Как я могу построить пример DFA, который имеет состояний, где эквивалентный NFA имеет состояний. Очевидно, набор состояний DFA должен содержать все подмножества набора состояний NFA, но я не знаю, с чего начать. Любые предложения, чтобы поставить меня на правильный путь? $2^n$ $n$

automata finite-automata

— saadtaame
источник

Этот вопрос несколько неясен. В общем, существует бесконечно много эквивалентных DFA для любого данного регулярного языка и бесконечно много эквивалентных NFA для любого данного регулярного языка. Если вам нужны минимальные DFA с

2^{n}

$2^n$ состояниями, это не всегда возможно, поскольку разные NFA могут распознавать один и тот же язык и иметь разное количество состояний, но соответствовать одному и тому же минимальному DFA. Если, кроме того, вы хотите рассмотреть только «минимальные» НФА, это становится несколько интереснее ...

— Patrick87

2

Патрик, я думаю, что OP означает пример, где минимальный DFA экспоненциально больше, чем минимальный NFA.

— Юваль Фильмус

@ Patrick87 Я не ищу алгоритм. Все, что я хочу, это пример пары машин: DFA с

2^{n}

$2^n$ состояниями и NFA с

n

$n$ состояниями, принимающими один и тот же язык.

— saadtaame

@saadtaame: Это тривиально: возьмите любой DFA и добавьте достаточно состояний, чтобы достичь

2^{n}

$2^n$ . Интересным примером являются те, где минимальный эквивалент DFA имеет столько же состояний.

— Рафаэль

1

Обратите внимание, что в статье Википедии о минимизации DFA приведены подходящие примеры (хотя вы должны сами разобраться с небольшим NFA).

— Рафаэль

18

Стандартным примером является язык всех слов в алфавите размера которые не содержат все разные буквы. Существует NFA, принимающий с состояниями (или состояниями, если вы разрешаете несколько начальных состояний): сначала угадать отсутствующую букву , затем перейдите (с -move) в принимающее состояние с помощью собственных циклов для всех , кроме букв . $L$ $A$ $n$ $L$ $n+1$ $n$ $a$ $\epsilon$ $A$

Любой DFA для требует как минимум состояний. Это можно увидеть с помощью теоремы Майхилла-Нероде. Пусть - два разных подмножества слов и которые содержат все и только буквы в соответственно. Без ограничения общности предположим, что , и пусть . Тогда , а . $L$ $2^n$ $S_1,S_2$ $A$ $w(S_1),w(S_2)$ $S_1,S_2$ $a \in S_1 \setminus S_2$ $w = w(A-a)$ $w(S_1)w \notin L$ $w(S_2)w \in L$

— Юваль Фильмус
источник

10

это упражнение в книге Марка В. Лоусона "Университет конечных автоматов", Эдинбург, стр. 68 "Конечные автоматы":

Пусть . Покажите, что язык может быть распознан недетерминированным автоматом с состояниями. Покажите, что любой детерминированный автомат, который распознает этот язык, должен иметь как минимум состояний. Этот пример показывает, что экспоненциальный рост числа состояний при переходе от недетерминированного автомата к соответствующему детерминированному автомату иногда неизбежен. $n \geq 1$ $(0+1)^\ast 1(0+1)^{n−1}$ $n+1$ $2^n$

— МК Дадсетани
источник

10

Я собираюсь догадаться, что вы имеете в виду, что оптимальный DFA имеет состояний. Может быть, это не даст вам состояний, но это . $2^n$ $2^n$ $\Omega(2^n)$

Из «Сложности общения» Кушилевица и Нисана в упражнении 12.6:

«Для некоторого постоянного [неотрицательного целого числа] рассмотрим (конечный) язык ." $c$ $L_c = \{ww\mid w \in \{0,1\}^c\}$

и книга продолжает просить вас доказать, что вы можете найти со-NFA, распознающий который использует состояния а также что вы не можете сделать лучше, чем состояния для DFA. $L_c$ $O(c)$ $\Omega(2^c)$

— Тимоти Сан
источник

Кроме того, доказательство второй части «требует» сложности общения, так что это может не подходить для ваших целей.

— Тимоти Сан

Спасибо за ответ! Что вы подразумеваете под со-NFA?

— saadtaame

По сути, в определении NFA поменяйте «принятие» на «отклонение». То есть, если ни один из возможных путей не приводит к отклоняющему состоянию, вы принимаете, в противном случае вы отклоняете.

— Тимоти Сан

На самом деле, нижняя граница довольно легко вытекает из Myhill-Nerode. (На самом деле, вы можете получить что-то вроде .) Но мой со-NFA использует состояния .

2^{c}

$2^c$

(c + 1) 2^{c}

$(c+1)2^c$

Θ (c^{2})

$\Theta(c^2)$

— Юваль Фильмус

Конечные языки несколько скучны в этом отношении. Смотрите также здесь .

— Рафаэль

9

Это поздний ответ, но, видимо, никто не дал оптимального решения. Возьмем , et , с Этот НФА на Двухбуквенный алфавит имеет состояний, только одно начальное и одно конечное состояния, а его эквивалентный минимальный DFA имеет состояний. $A = \{a, b\}$ $Q_n = \{0, 1, \ldots, n-1\}$ ${\cal A}_n = (Q_n, A, E_n, \{0\}, \{0\})$

E_{n} = {(i, a, i + 1) ∣ 0 ⩽ i ⩽ n - 1} \cup {(n - 1, a, 0)} \cup {(i, b, i) ∣ 1 ⩽ i \leq n - 1} \cup {(i, b, 0) ∣ 1 ⩽ i ⩽ n - 1}}

$E_n = \{(i, a, i+1) \mid 0 \leqslant i \leqslant n-1\} \cup \{(n-1, a, 0)\} \cup \{(i, b, i) \mid 1 \leqslant i \leq n-1\} \cup \{(i, b, 0) \mid 1 \leqslant i \leqslant n-1\}\}$

n

$n$

2^{n}

$2^n$

— J.-E. Штырь
источник

3

Очень умный! Язык, принимаемый этим автоматом, , где состоит из всех слов, содержащих букву не более раз.

(a^{n} + a W_{n - 1} b)^{*}

$(a^n + aW_{n-1}b)^*$

W_{n - 1}

$W_{n-1}$

a

$a$

n - 1

$n-1$

— Юваль Фильмус

2

@ yuval-filmus Этот пример не мой. Я хотел дать ссылку, но на данный момент я не помню, где я это видел.

— Ж.-Е.