Существует ли эффективный алгоритм эквивалентности выражений?

например, ? $xy+x+y=x+y(x+1)$

Выражения взяты из обычной школьной алгебры, но ограничены арифметическим сложением и умножением (например, ), без инверсий, вычитания или деления. Буквы являются переменными. $2+2=4; 2.3=6$

Если это поможет, мы можем запретить любое выражение, представляемое с числовыми значениями, отличными от ; т.е. не ни ни : $1$ $x^2$ $3x$ $4$

полилинейный , нет степеней, отличных от : в порядке, но не , и не все, что может быть представлено в этом виде, как в полном разложении для суммирования -произведений, например, не ; $1$ $x+xy \equiv x^1+x^1y^1$ $x^2+x^3y^4$ $x(x+y) \equiv x^2+y$
все одно , без коэффициентов, кроме : в порядке, но не , и не все, что может быть представлено так, как в полном раскрытии сумма-оф-продукты , например , не ; и $1$ $x+xy \equiv 1.x+1.xy$ $2x+3xy$ $a(x+y)+x(a+b) \equiv 2ax+ay+bx$
нет констант, кроме : опять же, в полностью расширенной сумме произведений, например, не $1$ $(a+1)+(b+1) \equiv a+b+2$

Существует ли эффективный алгоритм для определения эквивалентности двух выражений? $Q.$

Для иллюстрации приведем неэффективный алгоритм грубой силы с экспоненциальным временем:

полностью разверните оба выражения до суммы продуктов , которую можно легко проверить на эквивалентность (просто игнорируйте порядок, так как коммутировать / связать можно переупорядочить).

например,
$(a+b)(x+y) \rightarrow ax+ay+bx+by$
$a(x+y)+b(x+y) \rightarrow ax+ay+bx+by$

Это кажется общеизвестной проблемой - даже старшеклассников учат ручным способам ее решения. Это также решается автоматическими средствами проверки / проверки теорем, но они концентрируются на более сложных аспектах.

Вот работающий онлайн-автомат для проверки теорем: http://tryacl2.org/ , который показывает эквивалентность, находя последовательность коммутирующих / ассоциированных / распространяющих и т. Д .:

? --- 188 шагов $xy+x+y=x+y(x+1)$
(thm (= (+ (* x y) x y) (+ x (* y (+ x 1))) ))

? --- 325 шагов $y+x(y+1)=x+y(x+1)$
(thm (= (+ y (* x (+ y 1))) (+ x (* y (+ x 1))) ))

Это мой первый вопрос здесь, поэтому, пожалуйста, дайте мне знать, если я выбрал не то место, неправильные теги, неправильный способ описания / запроса и т. Д. Спасибо!
NB: этот вопрос был переписан в ответ на комментарии.
Спасибо всем респондентам! Я многому научился.

complexity-theory time-complexity decision-problem

— hyperpallium
источник

Вопрос здесь нуждается в уточнении. В какой области вы работаете? Являются ли такие объекты, как "

" и "

" в ваших выражениях элементами поля или переменных? На самом ли деле это поле (т. Е. Имеет ли обратное значение сложение и умножение)? Обратите внимание, что сумма продуктов не помогает, потому что

имеет экспоненциально много членов.

a

$a$

b

$b$

(a_{1} + b_{1}) (a_{2} + b_{2}) \dots (a_{n} + b_{n})

$(a_1+b_1)(a_2+b_2)\cdots(a_n+b_n)$

— Дэвид Ричерби

Если объекты являются переменными, и вычитание разрешено, то вы, по сути, спрашиваете о проверке полиномиальной идентичности, которая имеет рандомизированный алгоритм полиномиального времени по лемме Шварца – Циппеля .

тогда и только тогда, когда

и основная идея состоит в том, что многочлен, не равный нулю, не имеет много корней, поэтому, если вы начнете угадывать корни наугад и найти много корней, есть высокая вероятность того, что ваш полином был тождественно нулевым.

f (x) = g (x)

$f(x)=g(x)$

f (x) - g (x) = 0

$f(x)-g(x)=0$

— Дэвид Ричерби

Я удивлен, что никто еще не упомянул об этом, но «если это в NP, мне не нужно беспокоиться о поиске полиномиального алгоритма», не имеет смысла. Каждая проблема в P также есть в NP. Вы, вероятно, хотели спросить, является ли проблема NP-полной (или -hard).

— Том ван дер Занден

Если вы боретесь с основами, наши справочные вопросы могут быть вам полезны.

— Рафаэль

@hyperpallium Прежде чем спрашивать, есть ли язык (то есть проблема решения) в NP, лучше, если вы поняли, что это значит. Возможно, справочные вопросы, на которые ссылался Рафаэль, помогли бы.

— Юваль Фильмус

Ответы:

Ваша задача сводит к нулю тестирование многомерных полиномов, для которых существуют эффективные рандомизированные алгоритмы.

Все ваши выражения являются многомерными полиномами. Очевидно, ваши выражения построены по следующим правилам: (a) если является переменной, то является выражением; (б) если является константой, то является выражением; (c) если являются выражениями, то и являются выражениями. Если это действительно то, что вы хотели, каждое выражение является многомерным полиномом над переменными. $x$ $x$ $c$ $c$ $e_1,e_2$ $e_1+e_2$ $e_1e_2$

Теперь вы хотите знать, эквивалентны ли два выражения. Это равносильно проверке эквивалентности двух многомерных полиномов: при заданных значениях и вы хотите узнать, эквивалентны ли эти два полинома. Вы можете проверить это, вычтя их и проверив, тождественно ли результат равен нулю: define $p_1(x_1,\dots,x_n)$ $p_2(x_1,\dots,x_n)$

q (x_{1}, \dots, x_{n}) = p_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) - p_{2} (x_{1}, \dots, x_{n}) .

$q(x_1,\dots,x_n) = p_1(x_1,\dots,x_n) - p_2(x_1,\dots,x_n).$

Теперь эквивалентны тогда и только тогда, когда является нулевым полиномом. $p_1,p_2$ $q$

Проверка, является ли тождественно нулевым, является проблемой нулевого тестирования для многомерных полиномов. Для этого есть эффективные алгоритмы. Например, одним из примеров алгоритма является оценка при множестве случайных значений . Если вы найдете значение такое, что , то вы знаете, что $q$ $q(x_1,\dots,x_n)$ $x_1,\dots,x_n$ $x_1,\dots,x_n$ $q(x_1,\dots,x_n)$ $q$ не тождественно равен нулю, т. е. не эквивалентны. Если после многих испытаний все они равны нулю, можно сделать вывод, что тождественно равно нулю (если не тождественно равно нулю, вероятность того, что все эти испытания приведут к нулю, может быть экспоненциально мала). Количество итераций, которое вам нужно сделать, зависит от степени ; см. литературу по тестированию полиномиальной идентичности для деталей. $p_1,p_2$ $q$ $q$ $q$

Например, см. Https://en.wikipedia.org/wiki/Schwartz%E2%80%93Zippel_lemma и http://rjlipton.wordpress.com/2009/11/30/the-curious-history-of-the- Schwartz-Zippel-лемму /

Эти алгоритмы применяются, если вы работаете над конечным полем. Вы не состояние , какое поле / кольцо вы работаете, и вы лечите эти выражения как формальные выражения ли (например, полиномы как абстрактные объекты) или как функции от . Если вы работаете над конечным полем, описанные выше методы применяются немедленно. $\mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$

$r$ $r$ $\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$ $r$

— DW
источник

С другой стороны, было бы трудно доказать, что для каждого тождественно нулевого выражения существует не слишком длинное доказательство того, что выражение тождественно равно нулю.

$\;$

@RickyDemer, отличный момент! Хорошее наблюдение. Я интерпретировал вопрос как вопрос о проверке эквивалентности, а не доказательстве, но это очень хорошее наблюдение. (Если вы хотите продемонстрировать доказательство эквивалентности на практике, я подозреваю, что такое доказательство выполнимо, если вы хотите сделать криптографические предположения, для некоторого определения «доказательства» - например, схема, которая достигает надежности в случайная модель оракула.)

— DW

Благодарность! Я отношусь к ним как к формальным объектам, без инверсий, делений или вычитаний (но использую алгебру средней школы для этого вопроса; кажется, что он, скорее всего, уже решен). Вы имеете в виду, выбирайте большие случайные простые числа

r

$r$ и это обрабатывает выражения, как если бы они были конечными полями над базовым набором целых чисел

[0.. r - 1]

$[0..r-1]$ ? В этой вики-ссылке сказано, что для этого нулевого тестирования нет известного субэкспоненциального детерминированного алгоритма. Вы знаете, относится ли это к моей проблеме?

— Гиперпаллий

@ Hyperpallium, да, именно это я и имею в виду. Да, я верю, что это относится и к вашей проблеме. Вот почему я предложил рандомизированный алгоритм - существуют эффективные рандомизированные алгоритмы, хотя нет известных эффективных детерминированных алгоритмов.

— DW

Как указано в комментарии выше, OP работает не в конечном поле, а на коммутативном полукольце. Это означает, что аддитивные инверсии не гарантируются, поэтому «вычитание» выражений для проверки равенства с нулем не является допустимой операцией.

— Апнортон

Для того, чтобы следить на один мощности , один-Коэффициент и один-постоянных ограничений в вопросе:

Они определяют подмножество проблемы проверки полиномиальной идентичности. Очевидно, что их можно решить с помощью методики, которая решает общую проблему. Вопрос в том, образуют ли они подмножество, которое легче решить.

one-coefficient: in problems without this, terms might be combined, making the problem easier. Consider the Binomial Theorem/Pascal's triangle for $(a+b)^n$ . This can be expanded one factor at a time, producing terms with overlapping orders e.g. $(a+b)(a+b) = aa+ab+ab+bb = aa+2ab+bb$ The fewer terms make it easier to expand with the next factor: $(aa+2ab+bb)(a+b) = aaa+2aab+abb + aab+2abb+bbb = aaa+3aab+3abb+bbb$ and again terms are combined, making a smaller simpler problem. This combining of terms is a form of dynamic programming.

That is, the possibility of combining terms, creating a non-one coefficient, makes the problem easier not harder.

(Although there is more work in calculation in multiplying non-one coefficients)

non-one constants are included in the above argument by considering constants as variables with zero exponent.

one-power I don't think this makes any difference. Although non-one exponents can be created in more than one way (e.g. $a^4=a^2a^2=a^1a^3$ ), and this can lead to overlap and combination (as in the Binomial Theorm/Pascal's triangle above), actual combination is only possible if non-one coefficients are allowed.

The above is not a formal or rigorous argument. It rests on an assumption about what makes the problem difficult. But it does seem to me that combining terms only makes for an easier problem - so preventing this by the one coefficient constraint is not going to make the subset easier.

— hyperpallium
источник