Временная сложность тройного вложенного цикла

13

Пожалуйста, рассмотрите следующую тройную вложенную петлю:

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = i; j <= n; ++j)
        for (int k = j; k <= n; ++k)
            // statement

Здесь утверждение выполняется ровно раз Может кто-нибудь объяснить, как эта формула была получена? Спасибо. $n(n+1)(n+2)\over6$

algorithms time-complexity algorithm-analysis

— Xin
источник

1

Вопрос формула сложности времени для вложенных циклов также может представлять интерес.

— Юхо

14

Вы можете подсчитать, сколько раз выполняется самый внутренний цикл for, подсчитывая количество триплетов для которых он выполняется. $(i,j,k)$

По условиям цикла мы знаем, что: . Мы можем свести его к следующей простой проблеме комбинаторики. $1 \leq i \leq j \leq k \leq n$

Представьте себе прямоугольника красного цвета, расположенных в массиве слева направо. $n+2$
Выберите любые 3 коробки из и покрасьте их в синий цвет. $n+2$
Сформируйте триплет следующим образом:
- = 1 + количество красных прямоугольников слева от первого синего поля. $i$
- = 1 + количество красных прямоугольников слева от второго синего поля. $j$
- = 1 + количество квадратов красного цвета слева от третьего синего поля. $k$

Итак, нам просто нужно посчитать количество способов выбора 3 блоков из блоков, что составляет $n+2$ . $n+2 \choose 3$

— rizwanhudda
источник

2

Хороший ответ! Точные значения i, j, k не важны. Нам просто нужно знать, что любая синяя коробка может быть размещена в n возможных позициях и что их позиции ограничены: 2-й всегда идет после 1-го и до 3-го.

— Давид Натингга

@rizwanhudda Очистить, кроме части

в

. Можете ли вы объяснить это, пожалуйста?

выглядит как правильный номер.

+ 2

$+2$

n + 2

$n+2$

n + 3

$n+3$

— saadtaame

1

@saadtaame Да. Вы можете вообразить, что у вас

красных прямоугольника, но у вас есть свобода выбора 3 красных прямоугольников для рисования синим из числа «

красных прямоугольников», поскольку вы не можете покрасить первый прямоугольник в синий (так как

)

n + 3

$n+3$

n + 2

$n+2$

i \geq 1

$i \geq 1$

— rizwanhudda

3

для меня легче заметить, что внутренний цикл выполняется раз, а общее количество выполнений во внутреннем цикле $n-i$

$(n-i)+(n-i-1)+(n-i-2)+\ldots+1$

$\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j$ $n$

\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n - i} n - i - j = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}

$\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

— Энди Макевой
источник

Задача для вас: представьте, что у вас есть x-вложенный цикл. Согласно предыдущему ответу будет выполнено (n + x-1) выбор х раз. Как бы вы рассчитали свою формулу?

— Давид Натингга

К счастью, ОП не попросил о вложении в x-nested! Как другой ответ, данный дан, расширяется до x-вложенного цикла? Мой ответ должен получить больше сумм от 0 до n, от 0 до n-i_1, от 0 до n-i_2, ..., от 0 до n-i_x. Но я не знаю, как это вычислить.

— Энди Макевой

1

Ответ не раскрывается явно для общего x, но представленный процесс рассуждения легко проследить до x-вложенных циклов. Вы просто добавляете больше синих коробок. Я также не знаю, как бы я вычислил эти суммы.

— Давид Натингга