Подсчет пар инверсии

Классическое приложение «разделяй и властвуй» заключается в решении следующей проблемы:

Учитывая массив различных сопоставимых элементов, подсчитайте количество пар инверсии в массиве: пар таких что и . $a[1\dots n]$ $(i,j)$ $a[i] \gt a[j]$ $i \lt j$

Один из подходов к этому - выполнить сортировку слиянием, а также подсчитать количество пар инверсии в подзадачах. На этапе объединения мы подсчитываем количество пар инверсии, которые охватывают (две) подзадачи, и добавляем к подсчетам подзадач.

Хотя это хорошо и дает алгоритм времени , это портит массив. $O(n\log n)$

Если у нас есть дополнительное ограничение, что массив доступен только для чтения, то мы можем сделать копию и обработать копию, или использовать дополнительную структуру данных, такую как сбалансированное двоичное дерево статистики порядка, для подсчета, оба из которых используют пространство. $\Theta(n)$

Текущий вопрос состоит в том, чтобы попытаться улучшить пространство, не влияя на время выполнения. т.е.

Существует ли алгоритм времени для подсчета количества пар инверсии, который работает в массиве только для чтения и использует сублинейное (т. ) пространство? $O(n\log n)$ $o(n)$

Предположим, что модель ОЗУ с одинаковой стоимостью и что элементы занимают пространство и сравнение между ними равно . $O(1)$ $O(1)$

Ссылка подойдет, но объяснение будет лучше :-)

Я пытался найти в Интернете, но не смог найти положительного / отрицательного ответа на этот вопрос. Я полагаю, это просто любопытство.

algorithms reference-request arrays

— Арьябхата
источник

Чан и Патрашку дают алгоритм времени

, но, насколько я могу судить по просмотру статьи, им нужно пространство

o (n \log n)

$o(n \log n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

— Рафаэль

Кроме того, Ajtai et al. докажите, что для любого (точного)

алгоритма потокового времени требуется пространство

. Хотя, похоже, есть приближения, соответствующие вашим критериям.

O (n)

$O(n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

— Рафаэль

@ Рафаэль: Спасибо! Если ответа не ожидается, ваш комментарий будет лучшим ответом на данный момент.

— Арьябхата

Кстати, я немного озадачен тем, что нижняя граница Ajtai et al. Теорема 8 говорит «любой алгоритм», но нижняя граница, по-моему, противоречит точным потоковым алгоритмам за один проход, очень ограниченной модели

— Сашо Николов

@SashoNikolov: Я думаю, что они глобально устанавливают свою модель для потоковых алгоритмов, поэтому «любой» будет ограничен ими. Я надеюсь, что мое следствие - любой точный алгоритм времени

- правильно, то есть любой алгоритм с линейным временем может быть выражен как алгоритм потоковой передачи с постоянно большим количеством проходов. Посмотрим .

O (n)

$O(n)$

— Рафаэль

Вот ответ Рафаэля:

$o(n\log n)$ $\Omega(n)$ $O(n)$ $\Omega(n)$

— Yuval Filmus
источник

Спасибо за ответ. Я дам это еще немного времени, хотя. Трафик, кажется, набирает обороты.

— Арьябхата