Почему большие входные размеры подразумевают более сложные случаи?

Ниже предположим, что мы работаем с машиной Тьюринга с бесконечной лентой.

Объясняя кому-то понятие временной сложности и почему оно измеряется относительно входного размера экземпляра, я наткнулся на следующее утверждение:

[..] Например, естественно, что вам нужно больше шагов для умножения двух целых чисел на 100000 бит, чем, скажем, умножение двух целых чисел на 3 бита.

Претензия убедительна, но как-то махает рукой. Во всех алгоритмах, с которыми я сталкивался, чем больше размер ввода, тем больше шагов вам нужно. В более точных словах, сложность времени является монотонно возрастающей функцией размера ввода.

Это тот случай, когда сложность времени всегда увеличивается в зависимости от размера ввода? Если так, то почему? Есть ли доказательства этому помимо махнув рукой?

complexity-theory time-complexity intuition

— Кава
источник

«Прямо пропорциональный» имеет конкретное математическое значение, которое означает, по существу, линейное время. Другими словами, если ваш вход имеет размер

, если время прямо пропорционально, алгоритм выполняется во времени

. Я полагаю, это не то, что вы имеете в виду, так как многие алгоритмы не работают за линейное время, то есть сортировка. Можешь объяснить дальше?

n

$n$

c n

$cn$

— SamM

Итак, вы спрашиваете об алгоритме, который выполняется за

времени?

означает, что алгоритм работает в одно и то же время независимо от размера ввода,

означает, что он работает быстрее по мере увеличения ввода. Я не могу вспомнить тот, который запускается в то время вне моей головы, но обозначения довольно распространены, потому что алгоритм часто запускается примерно во время

- другими словами требуется

o (1)

$o(1)$

O (1)

$O(1)$

o (1)

$o(1)$

O (n^{2}) + o (1)

$O(n^2) + o(1)$

O (n^{2})

$O(n^2)$ время, и есть некоторые другие термины, которые становятся меньше по мере увеличения ввода.

— SamM

Хороший вопрос. Как насчет контр-примера вычисления простых множителей

для некоторого большого

(это только возрастающая функция для

)? @Sam Обратите внимание, что возрастающая функция говорит, что время должно уменьшаться в некоторой точке вдоль реальной линии (т.е.

c / n

$c / n$

c

$c$

n \geq c

$n \geq c$

f (b) < f (a), a < b

$f(b) < f(a), a < b$

— Кейси Кубалл

@ Дарфетт Боюсь, я не пойду. Не все увеличивающиеся функции уменьшаются в некоторой точке вдоль реальной линии.

— SamM

@ Дженнифер Да, я понимаю, это имеет смысл. Я бы рекомендовал использовать термин

как он имеет значение, которое вы ищете. И я хотел бы еще раз подчеркнуть, что прямая пропорциональность подразумевает линейность; Я понимаю, к чему вы клоните, но это может смутить тех, кто читает вопрос впервые.

o (1)

$o(1)$

— SamM

Ответы:

Это тот случай, когда сложность времени всегда увеличивается в зависимости от размера ввода? Если так, то почему?

Рассмотрим машину Тьюринга, которая останавливается после шагов, когда входной размер четный, и останавливается после шагов, если нечетно. $n$ $n$ $n^2$ $n$

Если вы имеете в виду сложность проблемы , ответ по-прежнему нет. Сложность проверки простоты намного меньше для четных чисел, чем для нечетных.

— JeffE
источник

Это тот случай, когда сложность времени всегда увеличивается в зависимости от размера ввода? Если так, то почему? Есть ли доказательства этому помимо махнув рукой?

$n$ $n$ $n/c$ $c$

$n = 1$ $n > 1$

Вероятно , интерес представляют сублинейные алгоритмы , которые не читают весь ввод. Смотрите, например, http://www.dcs.warwick.ac.uk/~czumaj/PUBLICATIONS/DRAFTS/Sublinear-time-Survey-BEATCS.pdf .

— Кристофер
источник

O (\log n)

$O(\log n)$

o (1)

$o(1)$

@Sam: Извините, я не видел ваш комментарий перед редактированием (добавление сублинейных алгоритмов).

— Кристофер

наоборот; Я не видел ваших правок перед добавлением комментария. Я бы удалил его, но вторая половина все еще применяется, и дополнительная ссылка не может повредить OP

— SamM

f (x) = 0

$f(x)=0$

$(\mathbb{N},\leq)$ $\Omega(1)$

Тем не менее, среднее время выполнения может содержать колеблющиеся компоненты, например, Mergesort .

— Рафаэль
источник

Я не вижу, как этот ответ связан с вопросом.

— А.Шульц

@ A.Schulz Это дает доказательство для основного вопроса: «Является ли это случаем, что сложность времени всегда является увеличивающейся функцией в размере входного сигнала?», Читая «увеличивающийся» как «неубывающий», то есть не обязательно сильно увеличивающийся.

— Рафаэль

\neq

$\not=$

@ A.Schulz: Тем не менее, моя интерпретация, кажется, то, что интересует Дженнифер .

— Рафаэль