Как показать, что две модели вычислений эквивалентны?

Я ищу объяснение того, как можно доказать, что две модели вычислений эквивалентны. Я читал книги по этому вопросу, за исключением того, что доказательства эквивалентности опущены. У меня есть базовое представление о том, что означает, что две модели вычислений эквивалентны (представление автоматов: если они принимают одни и те же языки). Есть ли другие способы мышления об эквивалентности? Если бы вы могли помочь мне понять, как доказать, что модель машины Тьюринга эквивалентна лямбда-исчислению, этого было бы достаточно.

Вы показываете, что любая модель может симулировать другую, которой присвоен компьютер в модели A, показывает, что в модели B есть машина, которая выполняет ту же функцию. Обратите внимание, что это моделирование не обязательно должно быть вычислимо (но обычно так и есть).

Рассмотрим, например, автоматы с двумя стеками (2-PDA). В другом вопросе моделирование в обоих направлениях обрисовано в общих чертах. Если бы вы сделали это формально, вы бы взяли общую машину Тьюринга (кортеж) и явно сконструировали, какой будет соответствующий 2-КПК, и наоборот.

Формально такая симуляция может выглядеть так. Позволять

$\qquad \displaystyle M = (Q,\Sigma_I,\Sigma_O,\delta,q_0,Q_F)$

быть машиной Тьюринга (с одной лентой). Потом,

$\qquad \displaystyle A_M = (Q \cup \{q^*_1,q^*_2\},\Sigma_I,\Sigma_O', \delta', q^*_1, Q_F)$

с $\Sigma_O' = \Sigma_O \overset{.}{\cup} \{\$\}$ и $\delta'$ определяется

$\quad \displaystyle (q^*_1,a,h_l,h_r) \to_{\delta'} (q^*_1,ah_l,h_r)$ для всех$a \in \Sigma_I$ и$h_r,h_l \in \Sigma_O$ ,
$\quad \displaystyle (q^*_1,\varepsilon,h_l,h_r) \to_{\delta'} (q^*_2,h_l,h_r)$ для всех$h_r,h_l \in \Sigma_O$ ,
$\quad \displaystyle (q^*_2,\varepsilon,h_l,h_r) \to_{\delta'} (q^*_2,\varepsilon,h_lh_r)$ для всех$h_r,h_l \in \Sigma_O$ с$h_l \neq \$$ ,
$\quad \displaystyle (q^*_2,\varepsilon,\$,h_r) \to_{\delta'} (q_0,\$,h_r)$ для всех$h_r \in \Sigma_O$ ,
$\quad \displaystyle (q,\varepsilon,h_l,h_r) \to_{\delta'} (q',\varepsilon,h_la) \iff (q,h_r) \to_\delta (q',a,L)$ для всех$q \in Q$ и$h_l \in \Sigma_O$ ,
$\quad \displaystyle (q,\varepsilon,\$,h_r) \to_{\delta'} (q',\$,\square a) \iff (q,h_r) \to_\delta (q',a,L)$ для всех$q \in Q$ ,
$\quad \displaystyle (q,\varepsilon,h_l,h_r) \to_{\delta'} (q',ah_l,\varepsilon) \iff (q,h_r) \to_\delta (q',a,R)$ для всех$q \in Q, h_l \in \Sigma_O'$ ,
$\quad \displaystyle (q,\varepsilon,h_l,\$) \to_{\delta'} (q,h_l,\square\$)$ для всех$q \in Q$ и$h_l \in \Sigma_O'$ , и
$\quad \displaystyle (q,\varepsilon,h_l,h_r) \to_{\delta'} (q',h_l,a) \iff (q,h_r) \to_\delta (q',a,N)$ для всех$q \in Q,h_l\in\Sigma_O'$

является эквивалентом 2-КПК. Здесь мы предполагаем, что машина Тьюринга использует $\square \in \Sigma_O$ качестве пустого символа, оба стека начинаются с маркера $\$\notin \Sigma_O$ (который никогда не удаляется) и $(q,a,h_l,h_r) \to_{\delta'} (q',l_1\dots l_i,r_1\dots r_j)$ означает, что $A_M$ потребляет вход $a$ , переключает состояния из$q$ к$q'$ и обновляет стеки следующим образом:

^{[ источник ]}

Осталось показать, что $A_M$ входит в конечное состояние на $x \in \Sigma_I^*$ тогда и только тогда, когда это делает $M$Это довольно ясно по построению; формально вы должны преобразовать принимаемые прогоны на $M$ в принятие прогонов на $A_M$ и наоборот.

At the beginning of Communicating and Mobile Systems: the Pi-Calculus by Robin Milner, there is a introduction on automata and how they can simulate each other so that they cannot be distinguished : Bisimulation. (cf Bisimulation on wikipedia)

I don't remember well, I should re-read the chapter, but there was a trouble with simulation and bisimulation that made them not sufficient for computational equivalences.

Thus Robin Milner introduces his Pi-Calculus and exposes it for the rest of the book.

В конце концов, в его последней книге «Пространство и движение коммуникационных агентов» вы могли взглянуть на Bigraphs Робина Милнера. Они могут моделировать автоматы, сети Петри, пи-исчисление и другие вычислительные методологии.

Насколько я знаю, единственный (или, по крайней мере, самый распространенный) способ сделать это - сравнить языки, которые принимают машины / модели. В этом весь смысл теории автоматов: она берет нечеткое понятие проблемы или алгоритма и превращает его в конкретный математический набор (то есть язык), о котором мы можем рассуждать.

Самый простой способ сделать это, учитывая произвольную машину / функцию из одной модели, построить машину из второй модели, которая вычисляет тот же язык. Скорее всего, вы будете использовать индукцию в длине выражения, состояния в машине, правила в грамматике и т. Д.

Я не видел, чтобы это было сделано с Lambda и TM (хотя я на 99% уверен, что это возможно), но я определенно видел такие вещи для доказательства эквивалентности NFA и регулярных выражений. Сначала вы показываете NFA, который может принимать любой атом, затем, используя индукцию, вы создаете NFA, которые принимают объединение / конкатенацию / звезду-звезду любых меньших NFA.

Затем вы делаете противоположное, чтобы найти RE для любого NFA.