Можно ли решить, достигнет ли ТМ какой-либо позиции на ленте?


14

У меня есть эти вопросы из старого экзамена, который я пытаюсь решить. Для каждой задачи, вход является кодирование некоторой машины Тьюринга M .

Для целого числа c>1 и следующих трех задач:

  1. Правда ли, что для каждого входа x M не передает |x|+c позиции при работе на x ?

  2. Верно ли, что для каждого входа M не передает max { | х | - c , 1 } положение при работе на х ?xmax{|x|c,1}x

  3. Правда ли, что для каждого входа M не проходит позицию ( | x | + 1 ) / c при работе на x ?x(|x|+1)/cx

Сколько проблем разрешимо?

Номер задачи (1), на мой взгляд, в , если я понимаю правильно , так как я могу запустить все входы параллельно, и остановки , если входные данные достигли этой позиции и показать , что это не в R I может уменьшить дополнение от Атм к нему. Я строю машину Тьюринга M следующим образом: для вводаcoRERRM я проверяю, является ли y историей вычислений, если это так, то M работает правильно и не останавливается, если нет, то останавливается.yyM

Для (3) я считаю, что это разрешимо, так как для c2 все машины Тьюринга всегда остаются в первой ячейке полосы, поскольку для строки из одного символа он может пройти первую ячейку, поэтому мне нужно смоделировать все строки длины 1 для шагов (правильно ли это?), И посмотреть , если я использую только первую ячейку во всех из них.|Q|+1

Я действительно не знаю, что делать с (2).


1) Предполагаете ли вы одностороннюю бесконечную ленту? 2) Что такое атм?
Рафаэль

1) Да, 2) Проблема принятия.
Юзеф

Ответы:


9

Любая ситуация, которая спрашивает, ограничена ли машина Тьюринга конечной частью ленты (скажем, длины ) на данном входе, разрешима.n

Аргумент работает следующим образом. Рассмотрим машину Тьюринга, ленту и положение машины Тьюринга на ленте. Все вместе они имеют конечное число конфигураций. Чтобы быть конкретным, есть только возможные конфигурации. t=n|Γ|n|Q| - набор символов ленты иΓ - набор состояний. Я буду продолжать использовать слово «конфигурация» для описания состояния машины Тьюринга в сочетании с состоянием ленты и ее положением на ленте до конца этого ответа, но это не стандартный словарь.Q

Запустите машину, отслеживая все ее прошлые конфигурации. Если он когда-либо выходит за пределы точки , верните «да, M проходит позицию n ». В противном случае машина находится где-то между 0 и n . Если машина когда-либо повторяет конфигурацию - ее состояние, символы на ленте и ее положение на ленте совпадают с тем, что было раньше - верните «нет, MnMnnM никогда не проходит позицию ».n

По принципу pidgeonhole это должно происходить не более чем за шагов. Так что все вышеперечисленное разрешимо; после максимумt+1 смоделированных шагов вы получите ответ.t+1

Краткое замечание о том, почему это работает: когда аппарат, лента и ее положение на ленте повторяются, между этими повторениями должна быть последовательность конфигураций. Эта последовательность будет повторяться снова, приводя к той же конфигурации еще раз - машина находится в бесконечном цикле. Это потому, что мы отслеживаем каждый аспект машины Тьюринга; ничто за пределами конфигурации не может повлиять на то, что произошло. Поэтому, когда конфигурация повторяется, она повторяется снова, с идентичной серией конфигураций между ними.

Таким образом, ограничение ленты конечной частью строки является разрешимым. Поэтому, перебирая все возможные входные строки, проблема в coRE для всех трех вопросов. Возможно, вы уже поняли это (между вашими идеями для 1 и 3 и ответом Ранга G для 2 это все равно кажется полностью решенным), но я решил, что, тем не менее, стоит опубликовать.


«Если машина когда-либо повторяет конфигурацию [...], верните« нет »» - это неправильно. Недетерминированный компьютер может выполнить цикл пару раз и затем продолжить работу.
Рафаэль

1
Мы говорим о машинах Тьюринга, которые не считаются недетерминированными. Если бы он был недетерминированным, смоделируйте детерминированную версию.
SamM

Хорошее объяснение. См. Также первую версию моего ответа (которую я пересматриваю, как только понял, что ОП не совсем спросил об этом ..)
Ран Г.

@ Сэм: Это работает наоборот: если не предполагается иное, машина Тьюринга может быть недетерминированной. Что такое «детерминистическая версия»? Если вы имеете в виду полное развертывание вариантов, то повторяющаяся конфигурация теряет смысл, поскольку они могут происходить в разных ветвях.
Рафаэль

2
@ Рафаэль стандартным способом сделать это является граф конфигурации: вершины - это те же конфигурации, которые были определены Сэмом, и существует направленное ребро от конфигурации A к B, если NTM может перейти от A к B за один шаг. Граф конечен, и вопрос о том, останавливается ли машина, является простым вопросом о достижимости графа. Это также показывает, что является подмножеством D T I M E ( 2 O ( s ) )NSPACE(s)DTIME(2O(s))
Сашо Николов

4

(2) очень похож на (3), и то же рассуждение, которое вы использовали для (3), применимо и здесь: обратите внимание, что машины, которые в имеют странное свойство - они не читают весь ввод (они никогда не достигают его последние c бит.) И это верно для каждого входа.L2c

Хорошо, теперь давайте рассмотрим только входные данные до длины . Для каждого из них есть только два варианта: машина зацикливается / останавливается без перемещения головки или перемещает головку. Если он перемещает голову на некоторый x| x |c ), эта машина не находится вcx|x|c из-за этого входа x . В противном случае я утверждаю, что машина находится в L 2 . Так как он никогда не двигает головой - он понятия не имеет, каков размер ввода! это означает, что он ведет себя одинаково для всех входов длины | х | > в . Следовательно, L 2 разрешима.L2xL2|x|>cL2


Как вы учитываете недетерминированные машины?
Рафаэль

Я не рассматривал НТМ, но так должно быть. Для всех слов длиной до число конфигураций, в которых NTM может находиться без перемещения головы, конечно. c
Ран Г.

Да, но ваш аргумент рушится. Вы не можете определить за конечное время (с помощью простого моделирования), покидает ли NTM заданную позицию.
Рафаэль

@ Рафаэль, почему нет? Разве вы не можете смоделировать все дерево конфигураций (глубиной ) за конечное время e x p ( | x | ) ? |x|exp(|x|)
Ран Г.

|x||Q|M
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.