Покажите, что {xy ∣ | x | = | y |, x ≠ y} не зависит от контекста

Я помню, как сталкивался со следующим вопросом о языке, который предположительно не зависит от контекста, но я не смог найти доказательства этому факту. Возможно, я неправильно понял вопрос?

Во всяком случае, вот вопрос:

Покажите, что язык зависит от контекста.$L = \{xy \mid |x| = |y|, x\neq y\}$

Утверждение : зависит от контекста.$L$

Идея доказательства : должна быть хотя бы одна разница между первой и второй половиной; мы даем грамматику, которая генерирует одну, а остальные оставляет произвольной.

Доказательство . Для простоты предположим, что двоичный алфавит . Доказательство легко распространяется на другие размеры. Рассмотрим грамматику :$\Sigma = \{a,b\}$$G$

$\qquad\begin{align} S &\to AB \mid BA \\ A &\to a \mid aAa \mid aAb \mid bAa \mid bAb \\ B &\to b \mid aBa \mid aBb \mid bBa \mid bBb \end{align}$

Совершенно ясно, что он генерирует

$\qquad \mathcal{L}(G) = \{ \underbrace{w_1}_k x \underbrace{w_2v_1}_{k+l}y\underbrace{v_2}_l \mid |w_1|=|w_2|=k, |v_1|=|v_2|=l, x\neq y \} \subseteq \Sigma^*;$

подозрительный может выполнить вложенную индукцию по и с различием регистра по парам . Теперь и коммутируют (интуитивно говоря, и могут обмениваться символами, поскольку оба содержат символы, выбранные независимо от остальной части слова). Следовательно, и имеют одинаковую позицию (в соответствующей половине), что подразумевает поскольку накладывает никаких других ограничений на свой язык.$k$$l$$(x,y)$$w_2$$v_1$$w_2$$v_1$$x$$y$$\mathcal{L}(G) = L$$G$

Заинтересованный читатель может насладиться двумя последующими задачами:

Упражнение 1 : Придумайте КПК для !$L$

Упражнение 2 : А как насчет ?$\{xyz \mid |x|=|y|=|z|, x\neq y \lor y \neq z \lor x \neq z\}$