Союз регулярных языков, который не является регулярным

12

Я сталкивался с таким вопросом: «Приведите примеры двух обычных языков, которые их объединение не выводит на обычном языке».

Это довольно шокирует меня, потому что я считаю, что обычные языки закрыты для объединения. Что означает для меня, что, если я возьму два обычных языка и объединю их, я должен получить обычный язык.

И я думаю, что я понимаю доказательство этого: по моим словам, если языки регулярные, то существуют автоматы, которые их распознают. Если мы возьмем все состояния (объединение) и добавим новое состояние для точки входа и изменим функцию перехода для нового состояния с помощью epsilon, у нас все в порядке. Мы также показываем, что существует путь из каждого штата и т. Д.

Можете ли вы сказать мне, где я не прав, или, возможно, другой способ подойти к вопросу.

Источник вопроса, упражнение 4, на французском языке.

Кроме того, тот же вопрос задается с пересечением.

formal-languages regular-languages closure-properties

— Дейв
источник

Другой способ увидеть это. Предположим, что такое бесконечное объединение дает регулярный язык. Рассмотрим любые нерегулярного языка . Вы можете разделить его элементы на бесконечное количество подъязыков где каждый из конечен (и, следовательно, регулярен). Теперь сделайте объединение всех . По предположению, это регулярный язык, но мы предположили, что нерегулярный язык, отсюда и противоречие. Разрешение закрытия при бесконечном объединении сделало бы все языки регулярными.

L

$L$

L_{i}

$L_i$

L_{i}

$L_i$

L_{i}

$L_i$

L

$L$

— Бакуриу

Для бесконечного объединения: возьмите любой нерегулярный язык и рассмотрите каждый . Ясно, что регулярно.

L = {w_{1}, w_{2}, w_{3}, \dots}

$L = \{w_1, w_2, w_3, \dots \}$

L_{i} = {w_{i}}

$L_i = \{w_i\}$

L_{i}

$L_i$

— Пол GD

26

Существует существенная разница между вопросом, который вы задаете, и вопросом, заданным в упражнении. Вопрос требует примера набора регулярных языков таких, что их объединение не является регулярным. Обратите внимание на диапазон объединения: от до . Обычные языки замкнуты при конечном объединении, и доказательства идут по линиям, которые вы набросали в вопросе, однако при бесконечном объединении это разваливается . Мы можем показать это, взяв для каждого (с $L_{1}, L_{2}, \ldots$

L = ⋃_{i = 1}^{\infty} L_{i}

$L = \bigcup_{i=1}^{\infty}L_{i}$

1

$1$

\infty

$\infty$

L_{i} = {0^{i} 1^{i}}

$L_{i} = \{0^{i}1^{i}\}$

i

$i$

Σ = {0, 1}

$\Sigma = \{0,1\}$ ). Конечно, бесконечное объединение этих языков дает канонический нерегулярный (контекстно-свободный) язык .

L = {0^{i} 1^{i} ∣ i \in N}

$L = \{0^{i}1^{i}\mid i \in \mathbb{N}\}$

Кроме того, мы можем легко увидеть, где нормальное доказательство не проходит. Представьте себе ту же конструкцию, в которой мы добавляем новое начальное состояние и -transitions к старым начальным состояниям. Если мы сделаем это с бесконечным множеством автоматов, мы получим автоматы с бесконечным числом состояний, очевидно противоречащие определению конечных автоматов. $\varepsilon$

Наконец, я предполагаю, что путаница может возникнуть из-за формулировки первоначального вопроса, который начинается с «Donner deux exampleses des suites de langages ...», то есть ( ~~грубо говоря~~ , мой французский немного ржавый, но внешне проверенный!) «Дайте два примера последовательностей языков ...», а не «Дайте два примера языков ...». Неосторожное чтение может ошибочно принять второе за первое.

— Люк Мэтисон
источник

1

И определяя как дополнение к множеству , их пересечение также будет нерегулярным. Ваше французское чтение верно, а не только грубо .

M_{i}

$M_i$

L_{i}

$L_i$

— Лоран LA RIZZA

Вы правы в части французского перевода. Я думал, что эта часть последовательности не была важной. ха - ха. Спасибо за ответ, разница теперь мне понятна.

— Дэйв

3

В качестве второго вопроса рассмотрим языки, определенные как Заметим , что для любого , является регулярным, так как (1) левый множество конечно и , следовательно , регулярным, (2) правый набор обозначается регулярным выражением так регулярно, и (3) регулярные языки закрыты под конечными союзами, как вы уже знаете.

M_{n} = {a^{k^{2}} ∣ 1 \leq k \leq n} \cup {a^{j} ∣ j \geq (n + 1)^{2}}

$M_n = \{a^{k^2}\mid 1\le k \le n\}\cup\{a^j\mid j\ge(n+1)^2\}$

n \geq 1

$n\ge 1$

M_{n}

$M_n$

a^{n} a a^{*}

$a^naa^*$

Нетрудно показать, что для любого целого числа у нас есть и, следовательно, поэтому индуктивно имеем (который нам здесь на самом деле не нужен, но он слишком чтобы его не ). $n\ge 1$ $M_{n+1}\subseteq M_n$ $M_n\cap M_{n+1} = M_{n+1}$

⋂_{i = 0}^{n} M_{i} = M_{n}

$\bigcap_{i=0}^n M_i = M_n$

Теперь внимание, что не содержит , поэтому ни одна из этих строк будет в полном пересечении. В результате у нас будет который, как известно, не является обычным языком. (Если вы не знали этого факта, это есть во многих теоретических текстах, и доказательство того стоит.) $M_n$ $a^{n^2+1},a^{n^2+2}, \dotsc, a^{(n+1)^2-1}$

⋂_{i = 0}^{\infty} M_{i} = {a^{n^{2}} ∣ n \geq 1}

$\bigcap_{i=0}^\infty M_i = \{a^{n^2}\mid n\ge 1\}$

— Рик Декер
источник

1

Зачем выбирать сложные регулярные языки, чтобы показать, что регулярные множества не замкнуты в бесконечном объединении? Синглтон-языков достаточно, чтобы показать, что любой язык RE является бесконечным объединением регулярных множеств.

Возьмем любой рекурсивно перечислимого языка . Каждая строка имеет индекс перечисления . Пусть . Каждое - одноэлементное множество, следовательно, регулярное. Но это RE. $L$ $w\in L$ $i=index(w)$ $L_i=\{w\mid i=index(w)\}$ $L_i$ $L =\bigcup_{i=1}^{\infty}L_i\;$

Аналогично, определяя , мы имеем множества которые являются регулярными в качестве дополнения к одноэлементному набору. Тогда который является дополнением к , следовательно, co-RE. И это может быть достигнуто с любым набором co-RE. $M_i=\Sigma^*\setminus L_i$ $M_i$ $\bigcap_{i=1}^{\infty}M_i= \Sigma^*\setminus L\;$ $L$

Следовательно, любой рекурсивный язык - это бесконечное объединение регулярных множеств, а также бесконечное пересечение регулярных множеств (не те же самые, но их дополнения :).

Бесконечность полна неожиданностей, и то, что верно для произвольно больших значений, может быть неверным на бесконечности.

— Babou
источник

1

Если вы выполняете объединение бесконечного множества Unit Unit, вы можете создать любой язык (ну, по крайней мере, любой другой язык, потому что, если он неразрешим, вы не можете указать список всех его строк). Например, объединение наборов единиц, каждый из которых содержит различную строку палиндрома над {a, b}, дает в результате язык палиндрома (без контекста): это $\{\epsilon\} \bigcup \{a\} \bigcup \{b\} \bigcup \{aa\} \bigcup \{bb\} \bigcup \{aaa\} \bigcup \{aba\} \bigcup \{bab\} \bigcup \{bbb\} \bigcup \ ...$

Вы можете сделать что-то похожее с пересечением, создавая бесконечное множество множеств, где каждый равен , где - это е слово палиндрома, в результате чего получается язык всех непалиндромных слов (дополнение к языку палиндрома, не -регулярна). $\Sigma^* - \{ p_i \}$ $p_i$ $i$

— Andres
источник