Обобщенная проблема 3SUM (k-SUM)?

Задача 3SUM пытается идентифицировать 3 целых числа из набора размера такого что .$a,b,c$$S$$n$$a + b + c = 0$

Предполагается, что не существует лучшего решения, чем квадратичное, то есть . Или, по-другому: .$\mathcal{o}(n^2)$$\mathcal{o}(n \log(n) + n^2)$

Поэтому мне было интересно, применимо ли это к обобщенной задаче: найти целые числа для в наборе размером таком что .$a_i$$i \in [1..k]$$S$$n$$\sum_{i \in [1..k]} a_i = 0$

Я думаю, что вы можете сделать это в для (обобщить простой алгоритм тривиально ). Но есть ли лучшие алгоритмы для других значений ?$\mathcal{o}(n \log(n) + n^{k-1})$$k \geq 2$$k=3$
$k$

$k$ SUM может быть решена быстрее следующим образом.

• Для четного :$k$ вычислить отсортированный список всех сумм входных элементов . Проверьте, содержит ли некоторое число и его отрицание . Алгоритм выполняется за времени.$S$$k/2$$S$$x$$-x$$O(n^{k/2}\log n)$

• Для нечетного :$k$ Вычислить отсортированный список всех сумм входных элементов . Для каждого входного элемента проверьте, содержит ли и и , для некоторого числа . (Второй шаг - это, по сути, алгоритм времени для 3SUM.) Алгоритм выполняется за время .$S$$(k-1)/2$$a$$S$$x$$-a-x$$x$$O(n^2)$$O(n^{(k+1)/2})$

Оба алгоритма являются оптимальными (за исключением, возможно, логарифмического коэффициента, когда чётно и больше ) для любой константы в некотором слабом, но естественном ограничении модели вычисления линейного дерева решений. Для более подробной информации смотрите:$k$$2$$k$

• Нир Айлон и Бернар Шазель. Нижние оценки для тестирования линейного вырождения . JACM 2005.

• Джефф Эриксон Нижние оценки для линейных задач выполнимости . CJTCS 1999.

$d$ -SUM требует времени если k-SAT не может быть решена за времени для любой константы k. Это было показано в статье Михая Патраску и Райана Уильямса (1).$n^{\Omega(d)}$$2^{o(n)}$

Другими словами, предполагая экспоненциальную гипотезу времени , ваш алгоритм является оптимальным с точностью до постоянного множителя в экспоненте (множитель )$n$

(1) Михай Патраску и Райан Уильямс. О возможности более быстрых SAT-алгоритмов. Proc. 21-й симпозиум ACM / SIAM по дискретным алгоритмам (SODA2010)

Вот несколько простых наблюдений.

Для вы можете сделать это за время , отсканировав массив на ноль. Для вы можете сделать это без хэширования во время . Сортируйте массив, а затем отсканируйте его. Для каждого элемента делаю бинарный поиск для . Это приводит к общей сложности . Для случая вы можете сделать это за время, накаплив массив и проверив результат.$k=1$$\Theta(n)$$k=2$$\Theta(n \log n)$$i$$-i$$\Theta(n \log n)$$k=n$$\Theta(n)$

Дополнительные сведения см. На странице «Проект открытых проблем» для 3SUM .

См. Http://arxiv.org/abs/1407.4640

Новый алгоритм решения задачи rSUM Валерий Сопин

Аннотация:

Определен алгоритм для решения задачи rSUM для любого натурального r с субквадратичной оценкой сложности времени в некоторых случаях. С точки зрения количества используемой памяти полученный алгоритм имеет также субквадратичный порядок. Идея полученного алгоритма основана не на целых числах, а на k∈N последовательных битов этих чисел в двоичной системе счисления. Показано, что если сумма целых чисел равна нулю, то сумма чисел, представленных любыми k последовательными битами этих чисел, должна быть достаточно "близка" к нулю. Это позволяет отбросить числа, которые тем более не устанавливают решение.

Это что-то новое в этом выпуске.