Вырастают ли невычислимые функции асимптотически большими?

13

Я читал о числах занятых бобров и о том, как они асимптотически растут больше, чем любая вычислимая функция. Почему это так? Это из-за невычислимости функции занятого бобра? Если так, то все ли невычислимые функции растут асимптотически больше, чем вычислимые?

Редактировать:

Хорошие ответы ниже, но я хотел бы объяснить на простом английском, что я понимаю из них.

Если существовала вычислимая функция f, которая росла быстрее, чем функция занятого бобра, то это означает, что функция занятого бобра ограничена функцией f. Другими словами, машине Тьюринга просто нужно будет выполнить f (n) много шагов, чтобы решить проблему остановки. Поскольку мы знаем, что проблема остановки неразрешима, наша первоначальная предпосылка неверна. Поэтому функция занятого бобра растет быстрее, чем все вычисляемые функции.

computability asymptotics

— hollow7
источник

Что касается вашей «простой английской» части, откуда вы получили ответы? Как вы получаете от ограничения функции «занятый бобер» до решения проблемы остановки в целом? Обратите внимание, что решение об остановке для любой машины Тьюринга не является неисчислимым.

— Рафаэль

@ Рафаэль, его простое английское резюме кажется мне правильным, но не совсем полным. Недостающая деталь в том , что можно уменьшить , если принять решение TM

привалов на

до принятия решения , если ТМ

останавливается на пустой ленте (жесткий провод

в

). Тогда, если

была вычислимой границей на BB, алгоритм, описанный OP, решил бы проблему остановки на любых

и

.

M

$M$

x

$x$

M^{'}

$M'$

x

$x$

M^{'}

$M'$

f (n)

$f(n)$

M

$M$

x

$x$

— Сашо Николов

14

Если вы берете какой-либо невычислимый набор натуральных чисел, характеристическая функция этого набора принимает только значения и является невычислимой. Так что дело не в том, что каждая невычислимая функция растет очень быстро, их можно даже ограничить. $\{0,1\}$

Функция Busy Beaver растет быстрее, чем любая вычислимая функция, потому что она создана для этого. Доказательство того, что оно не вычислимо, сначала доказывает, что оно растет быстрее, чем любая вычислимая функция.

В более общем смысле, скажем, что множество имеет «степень без гипериммунности», если каждая функция, вычислимая из , ограничена вычислимой функцией. Конечно, каждое вычислимое множество имеет степень без гипериммунности. Известно, что существует также много невычислимых множеств, имеющих степень без гипериммунности. Так что дело не в том, что все неисчислимые вычисления должны будут вычислять некоторые быстро растущие функции. $A \subseteq \mathbb{N}$ $A$

$B$ $e$ $f$ $f(n) = k$ $e$ $n$ $k$ $f(n) = 0$ $e$ $n$ $B$ $B$

— Карл Муммерт
источник

4

$f$ $F$ $f \in \omega(g)$ $o(g)$ $g \in F$ $f \notin F$

$\{0,1\}$ $O(1)$

Конечно, есть наборы функций, для которых среда выполнения является как необходимым, так и достаточным критерием членства, а именно те, которые характеризуются средой выполнения, такие как

$\qquad \displaystyle \mathrm{Poly} = \{f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \mid \exists k.\, f \in O(n^k)\}$

Это имеет только ограниченное количество смысла. Параметром функции HP является кодировка машины Тьюринга и натуральное число; его размер не является мерой того, насколько сложно решить, как остановиться.

— Рафаэль
источник