Остановка проблемы без самореференции

В проблеме остановки нас интересует, существует ли машина Тьюринга которая может определить, останавливается ли данная машина Тьюринга на заданном входе i . Обычно доказательство начинает предполагать, что такой T существует. Затем мы рассмотрим случай , когда мы ограничиваем I к М самим, а затем получить противоречие, используя экземпляр диагонального аргумента. Меня интересует, как будут проходить доказательства, если нам дадут обещание, что я не = М ? Как насчет обещания i \ not = M ^ \ prime , где M ^ \ prime функционально эквивалентно M ?M i T i M i ≠ M i ≠ M ′ M ′$T$$M$$i$$T$$i$$M$$i \not = M$$i \not = M^\prime$$M^\prime$$M$

Предположим, что HALTS - это TM, который считывает свои входные данные в виде пары и , где - это кодировка TM, а - любой входной сигнал для этой TM.х М $M$$x$$M$$x$

Ваш вопрос, если что случится , если мы предполагали привалы решить Проблему Остановки для всех входов такое , что не является кодирование ТМА , который функционально эквивалентен .х $\langle M,x \rangle$$x$$M$

Я утверждаю, что это подразумевает противоречие. Я придумал это на месте, поэтому я приветствую любую критику моих доказательств. Идея доказательства состоит в том, что вместо диагонализации чего-либо для себя мы создаем два взаимно рекурсивных ТМ, которые ведут себя по-разному на некотором входе (таким образом, не являются функционально эквивалентными), но в противном случае вызывают противоречия.

Пусть и две взаимно рекурсивные TMs (что означает , что мы можем моделировать, печать и т.д., описание внутри программы , и наоборот). Обратите внимание, что мы можем сделать взаимно рекурсивные ТМ из теоремы о рекурсии.D 2 D 2 D $D_1$$D_2$$D_2$$D_1$

Определение и следующим образом : на входе , если (10 выбрано произвольно), затем принимает и зацикливается. (Таким образом, они не являются функционально эквивалентными).D 2 x | х | < 10 D 1 D $D_1$$D_2$$x$$|x| < 10$$D_1$$D_2$

Заданный вход с , определите для имитации HALTS на и остановите, если остановится, или цикл, если зацикливается.| х | ≥ 10 D 1 ⟨ D 2 , х ⟩ D 2 D $x$$|x| \ge 10$$D_1$$\langle D_2, x \rangle$$D_2$$D_2$

Заданный вход с , определите для имитации HALTS на и loop, если останавливается или останавливается, если .| х | ≥ 10 D 2 ⟨ D 1 , х ⟩ D 1 D $x$$|x| \ge 10$$D_2$$\langle D_1, x \rangle$$D_1$$D_1$

Тогда отметим, что для любого с , (x) либо останавливается, либо зацикливается. Если останавливается на входных х, то мы знаем привалах ( , х) определено , что привалы на входе х. Тем не менее, остановки на входе х означает , что завешивает ( , х) петли.| х | ≥ 10 D 1 D 1 D 2 D 2 D 2 D $x$$|x| \ge 10$$D_1$$D_1$$D_2$$D_2$$D_2$$D_1$

Если на входе зацикливается, противоречие следует аналогично.$D_1$$x$

Это противоречие , если не является кодированием для машины Тьюринга функционально эквивалентного или , в этом случае имеет завешивает неопределенное поведение. Однако был выбран произвольно из всех строк размером больше . Таким образом, остается показать , существует машина Тьюринга с кодировкой размером больше 10 , что ведет себя иначе , чем и . Мы можем построить такую ​​машину тривиально. QED.Д 1 Д 2 х 10 Д 1 Д $x$$D_1$$D_2$$x$$10$$D_1$$D_2$

Мысли?

Ты все еще не из леса. Вы сталкиваетесь с той же проблемой, только теперь вы задаете ему другую ТМ, качестве входных данных, где вы выбрали чтобы функционально эквивалентный (скажем, вы добавляете новое правило в так, что открывающие движения переходят один шаг вправо, один шаг влево и в противном случае вы не вносите изменений). Вы все еще столкнетесь с противоречием. Вы можете попробовать удалить все ТМ, которые эквивалентны , но это неразрешимый набор.M ′ M M M ′$M'$$M'$$M$$M$$M'$$M$

Обновление . Исправьте схему кодирования, где обозначает описание по этой схеме TM и предположим, что у вас есть TM, гдеM $\langle\,M\,\rangle$$M$$H$

• х В х $H(\langle\,M\,\rangle, x)$ не определено, когда является кодировкой TM, которая вычисляет ту же частичную функцию, что и (т.е. и функционально эквивалентны).$x$$H$$x$$H$
• Для всех других входных данных возвращает true тогда и только тогда, когда останавливается.М ( х $H(\langle\,M\,\rangle, x)$$M(x)$

Теперь обычная конструкция диагонализации все еще приводит к противоречию. Определить TM по$Q$

Q(x)=
  if H(<Q>, x) = false
    return true
  else
    loop forever

Ясно, что и функционально неэквивалентны, поэтому мы можем позволить и обнаружить, что останавливается тогда и только тогда, когда он не останавливается, поэтому такой ТМ не может быть .H x = $Q$$H$Q ( $x=\langle\,Q\,\rangle$$Q(\langle\,Q\,\rangle)$$H$