Определение конкретного числа в времени и пространстве (наихудший случай)

$\newcommand\ldotd{\mathinner{..}}$ Учитывая, что $A[1\ldotd n]$ являются целыми числами, такими, что $0\le A[k]\le m$ для всех $1\le k\le n$ , и вхождением каждого число, кроме определенного числа в $A[1\ldotd n]$ является нечетным числом. Попробуйте найти число, вхождение которого является четным числом.

Существует алгоритм $\Theta(n\log n)$ : мы сортируем $A[1\ldotd n]$ на $B[1\ldotd n]$ и разбиваем $B[1\ldotd n]$ на множество частей, значения элементов которых являются то же самое, поэтому мы можем посчитать вхождение каждого элемента.

Я хочу найти алгоритм $O(n)$ -время-и- $O(n)$ -пространства в худшем случае .

Предположим, что $m=\Omega(n^{1+\epsilon})$ и $\epsilon>0$ , поэтому радикальная сортировка недопустима. $\DeclareMathOperator{\xor}{xor}$ Двоичные побитовые операции допустимы, например, $A[1]\xor A[2]$ .

algorithms search-algorithms

— Yai0Phah
источник

Ответ Арьябхаты, приведенный ниже, показывает, что общий случай не очень хорош, но, возможно, у вас есть дополнительные ограничения? Простое (но большое) ограничение заключается в обеспечении того, чтобы все записи в массиве имели размер

O (n)

$O(n)$ . Это дало бы довольно тривиальный линейный алгоритм.

— Люк Мэтисон

@LukeMathieson: я удалил этот ответ, поскольку еще не уверен, что цитируемый мной документ будет работать без каких-либо изменений, и, кроме того, OP, похоже, интересуется только моделью оперативной памяти с одинаковыми затратами.

— Арьябхата

@Aryabhata: хе-хе, хорошо, что ответа там нет! Из интересного и, возможно, полезного для Фрэнка, как вы думаете, была проблема с адаптацией результата в газете? Беглый взгляд подсказал, что это применимо, но я, очевидно, не читал это.

— Люк Мэтисон

@LukeMathieson: тот факт, что другие элементы должны появляться нечетное количество раз в текущей задаче. Так как я тоже просмотрел доказательства ...

— Арьябхата

Было бы интересно, если вас интересуют теоретические результаты или практические решения. С точки зрения теории, мой первый быстрый ответ заключается в том, что вы можете отсортировать список целых чисел быстрее, чем . Существует детерминированный алгоритм Хана, который выполняется за . Для рандомизированных алгоритмов известны еще лучшие результаты, например, Хан и Торуп нашли алгоритм ожидаемого времени . Тем не менее, я думаю, что ваша проблема не должна требовать сортировки.

O (n \log n)

$O(n\log n)$

O (\log \log n)

$O(\log\log n)$

O (n \sqrt{\log \log n})

$O(n \sqrt{\log\log n})$

— А.Шульц

Ответы:

Вот идея простого алгоритма; просто посчитай все вхождения!

Найти . - время $m = \max A$ $\Theta(n)$
«Выделить» массив . - время ¹ $C[0..m]$ $O(1)$
Итерируйте по и увеличивайте на единицу всякий раз, когда вы найдете . Если было , добавить до линейного списка . - время $A$ $C[x]$ $A[\_]=x$ $C[x]$ $0$ $x$ $L$ $\Theta(n)$
Переберите и найдите элемент с . - время . $L$ $x_e$ $C[x_e]$ $O(n)$
Вернуть . $x_e$

В общем, это дает вам алгоритм линейного времени, который может использовать (в смысле выделения) много памяти. Обратите внимание, что возможность произвольного доступа к в постоянное время независимо от имеет решающее значение. $C$ $m$

При таком подходе дополнительная оценка является более сложной; Я не знаю какой-либо словарной структуры данных, которая предлагает поиск времени. Вы можете использовать хеш-таблицы, для которых здесь есть реализации с ожидаемым временем поиска ( размером таблицы, числом хранимых элементов), так что вы можете получить сколь угодно хороший результат с линейным пространством - в ожидании. Если все значения в соответствуют одному и тому же хеш-значению, вы облажались. $O(n)$ $O(1)$ $O(1 + k/n)$ $n$ $k$ $A$

В оперативной памяти это сделано неявно; все, что нам нужно, это начальная позиция и, возможно, конечная позиция.

— Рафаэль
источник

Почти тривиальное решение - использующее, однако, пространство - это использование хэш-карты. Напомним, что хэш-карта имеет амортизированную среду выполнения для добавления и поиска элементов. $\Theta(n)$ $\mathcal{O}(1)$

Следовательно, мы можем использовать следующий алгоритм:

Выделяют хэш - карту . Итерация над . Для каждого элемента увеличьте количество видимых случаев, т.е. . $H$ $A$ $i \in A$ $H(i)++$
Выполните итерацию по набору ключей хэш-карты и проверьте, какой из ключей имеет четное количество вхождений.

Теперь это простой алгоритм, который не использует какой-то большой трюк, но иногда даже этого достаточно. Если нет, вы можете указать, какие ограничения пространства вы накладываете.

— HDM
источник

Я все еще хотел бы знать, существует ли нерандомизированный алгоритм времени , использующий полиномиальное пространство. В частности, есть ли какие-либо теоретические доказательства того, что найти единственный четный предмет сложнее, чем найти единственный странный предмет?

O (n)

$O(n)$

— А.Шульц

@ A.Schulz Я думаю, что это алгоритм с ожидаемым временем с использованием хеш-таблицы. Я помню, что кто-то сказал мне -алгоритм (или для какого-то особого случая, скажем, нечетного = 1 и четного = 2), возможно, со стеком, но я не могу вспомнить его.

O (n)

$O(n)$

O (n)

$O(n)$

— Yai0Phah

Не каждая реализация с хеш-таблицами имеет это свойство; обычно поиск не является , даже не амортизируется (afaik). Фактически, предшествующее обсуждение не дало никакой реализации, которая имеет постоянный поиск по времени. Можете быть более конкретными?

O (1)

$O(1)$

— Рафаэль