Доказательство безопасности генератора псевдослучайных чисел Нисана-Вигдерсона

Пусть $\cal{S}=\{S_i\}_{1\leq i\leq n}$ - частичный $(m,k)$ -дизайн, а $f: \{0,1\}^m \to \{0,1\}$ - булева функция. Генератор Нисана-Вигдерсона $G_f: \{0,1\}^l \to \{0,1\}^n$ определяется следующим образом:

G_{f} (x) = (f (x |_{S_{1}}), \dots, f (x |_{S_{n}}))

$G_f(x) = (f(x|_{S_1}) , \ldots, f(x|_{S_n}) )$

Чтобы вычислить $i$ й бит $G_f$ мы берем биты $x$ с индексами в $S_i$ и затем применяем $f$ к ним.

Предположим, что является -твердым для цепей размером где - константа. Как мы можем доказать, что является безопасным генератором псевдослучайных чисел? $f$ $\frac{1}{n^c}$ $n^c$ $c$ $G_f$ $(\frac{n^c}{2}, \frac{2}{n^c})$

Определения:

Частичный -дизайн представляет собой набор подмножеств таких, что $(m,k)$ $S_1, \ldots, S_n \subseteq [l] = \{1, \ldots, l\}$

для всех : и $i$ $|S_i|=m$
для всех : . $i \neq j$ $|S_i \cap S_j| \leq k$

Функция является -hard для цепей размером если никакая схема размера может предсказать с вероятностью лучше, чем бросок монеты. $f$ $\epsilon$ $s$ $s$ $f$ $\epsilon$

Функция является -безопасным генератором псевдослучайных чисел, если только схема с размером может различить случайное число и число, сгенерированное с помощью вероятность лучше, чем . $G:\{0,1\}^l \to \{0,1\}^n$ $(s, \epsilon)$ $s$ $G_f$ $\epsilon$

Мы используем Для строки , состоящей из бит «ы с индексами в . $x|_A$ $x$ $A$

cryptography pseudo-random-generators

— Кава
источник

PS: на самом деле это не моя домашняя работа, но, пожалуйста, относитесь к ней так же, как к домашней задаче, иногда ее дают студентам, изучающим курс криптографии.

— Каве

и пусть битва CS.SE против crypto.SE начнется! (:

— Ран Г.

Google дает довольно хорошие результаты: 1 , 2

— Ран Г.

Это не очень хороший ответ - это только поиск в Google. Может быть, вы хотите сделать ответ из этого?

— Ран Г.

@RanG., Хорошая мысль.

— Каве

Вот ответ Ран Г., упомянутый в комментариях: Google дает довольно хорошие результаты: 1 , 2 .

— Юваль Фильмус
источник