Разрешимость префиксного языка

9

В середине срока был вариант следующего вопроса:

Для разрешимого определить Показать, что не обязательно разрешимый. $L$
$Pref (L) = {x ∣ \exists y s.t. x y \in L}$ $\text{Pref}(L) = \{ x \mid \exists y \text{ s.t. } xy \in L\}$ $\text{Pref}(L)$

Но если я выберу то я думаю, что также , поэтому разрешима. Также дает тот же результат. И так как должен быть разрешимым, я не могу выбрать проблему остановки или что-то подобное .. $L=\Sigma^*$ $\text{Pref}(L)$ $\Sigma^*$ $L=\emptyset$ $L$

Как я могу найти такой, что не разрешима? $L$ $\text{Pref}(L)$
Какие условия на сделают разрешимым, а какие - неразрешимыми? $L$ $\text{Pref}(L)$

computability undecidability

— Ран Г.
источник

9

Обратите внимание, что с помощью экзистенциального квантификатора перед разрешимым языком мы можем получить любой новый язык, то есть каждый язык выражается как

{x \in Σ^{*} ∣ \exists y \in Σ^{*} ⟨ x, y ⟩ \in V}

$\{ x\in \Sigma^* \mid \exists y \in \Sigma^* \ \langle x,y \rangle \in V \}$

где разрешимый язык. К ним относятся неразрешимые языки: . $V$

A_{T M} = {⟨ e, x ⟩ ∣ e encodes a Turing machine which accepts x}

$A_{TM} = \{ \langle e, x\rangle\ \mid \text{$e$ encodes a Turing machine which accepts $x$} \}$

Единственная разница здесь в том, что здесь мы должны разделить и сами. Стандартный трюк заключается в использовании нового символа для разделения двух частей (предположим, что разделитель принадлежит ). Поэтому любой язык, включая неразрешимые, можно выразить в этом формате. $x$ $y$ $y$

Что касается второго вопроса, то нет общего алгоритмического способа проверить, являются ли префиксы данного разрешимого языка неразрешимыми. Это следует из теоремы Райс.

— Кава
источник

Вы можете явно дать который создает ?

V

$V$

A_{T M}

$A_{TM}$

— Ран Г.

2

Пусть быть строкой , предназначенной для представления останавливая принимая вычисление по , будет проверять , если является допускающим вычисление по .

y

$y$

M_{e}

$M_e$

x

$x$

V

$V$

y

$y$

M_{e}

$M_e$

x

$x$

— Каве

Это хорошее решение!

— Ран Г.

3

Мета-знание: вы хотите найти неразрешимый язык, который, тем не менее, обладает некоторыми вычислительными свойствами. Произвольный неразрешимый язык, вероятно, не приведет вас слишком далеко. Но полуразрешимый ...

Более сильный намек: что такое полуразрешимый язык? Это означает, что мы можем перечислить слова: это некоторый набор слов такой, что существует целое число такое, что $u$ $n$

u = f (n)

$u = f(n)$

Посмотрите на это уравнение немного, имея в виду разрешимость и префиксы.

Говоря интуитивно, предположим, что у вас есть и вы хотите проверить, находится ли он в . Вы не , чем проверка , , и т. Д., Где - буквы алфавита. Это частично рекурсивная функция, которая проверяет членство в . Конечно, мы знали, что уже был; нам нужно показать, что иногда нет альтернативного метода. Давайте возьмем некоторый набор который является ре и не рекурсивным, и пусть будет перечислением ( $x$ $\mathrm{Pref}(L)$ $x a$ $x b$ $x a a$ $a,b,\cdots$ $\mathrm{Pref}(L)$ $\mathrm{Pref}(L)$ $S \subset \mathbb{N}$ $f$ $S$ $S = {f(x) \mid x\in\mathbb{N}}$ ).

Предположим, что алфавит содержит три символа , и (если у вас есть только два символа , закодируйте как , как и как ). Если , пусть будет записанным в базе 2 с использованием символов и без начального . $0$ $1$ $:$ $\{\aleph,\beth\}$ $0$ $\aleph\aleph$ $1$ $\aleph\beth$ $:$ $\beth$ $n\in\mathbb{N}$ $\bar n$ $n$ $0$ $1$ $0$

Пусть . Говоря простым языком, мы берем элементы и добавляем их в индекс перечисления. явно разрешима (проверьте, что существует одно что две последовательности цифр не содержат начального , и что первая последовательность цифр записывает изображение на числа, которое пишется второй). Однако решение о том, является ли какой-то префиксом , равносильно решению, находится ли в , что невозможно сделать, не зная поскольку не является рекурсивным по предположению. Формально, $L = \{\bar y\mathord:\bar x \mid y = f(x)\}$ $S$ $L$ $:$ $0$ $f$ $\bar y$ $L$ $y$ $S$ $x$ $S$ $\mathrm{Pref}(L)$ не разрешима, потому что не разрешима. $\mathrm{Pref}(L) \cap \{0,1\}^*\mathord: = S\mathord:$

— Жиль "ТАК - перестань быть злым"
источник