Вычисление количества бит большой степени целого

Учитывая два целых числа и в двоичном представлении, какова сложность вычисления размера битов ?н х $x$$n$$x^n$

Один из способов сделать это - вычислить путем вычисления аппроксимации с достаточной точностью. Похоже, что вычисление с битами точности может быть выполнено в где - время, необходимое для вычисления произведения двух целых чисел длины . Это приводит к (не особенно простому) алгоритму сложности приблизительно если является ограничением размера битов как и (если я не сделал ошибку).log 2 ( x ) log 2 ( x ) k O ( M ( k ) log k ) M ( k ) k O ( s log 2 с ) с х $1+\lfloor \log_2(x^n)\rfloor=1+\lfloor n\log_2(x)\rfloor$$\log_2(x)$$\log_2(x)$$k$$O(M(k)\log k)$$M(k)$$k$$O(s\log^2 s)$$s$$x$$n$

Можем ли мы победить где - размер и (в случае, когда они имеют сопоставимые размеры)? Есть простой алгоритм, чтобы получить эту сложность или лучше?$O(s\log^2(s))$$s$$x$$n$

Примечание: меня интересует сложность теоретической модели, такой как машины Тьюринга.

[edit] Как предложено, я редактирую свой ответ, чтобы дать больше деталей.

Ответ на мой второй вопрос - нет :

Предложение. Вычислить с точностью до k по меньшей мере так же сложно, как вычислить битовый размер x 2 k .$\log(x)$$k$$x^{2^k}$

Доказательство. Пусть обозначает размер в битах целого числа у . Сначала обратите внимание, что для неотрицательного целого числа y размер битов y равен 1 + ⌊ log y ⌋ .$|y|$$y$$y$$y$$1+\lfloor \log y\rfloor$

Таким образом, . Теперь 2 k log ( x ) - это log ( x ), сдвинутое на k позиций влево. Таким образом, можно вычислить log ( x ) с точностью до k , просто вычитая 1 в битовый размер x 2 k и сдвигая результирующие позиции k вправо.$\left|x^{2^k}\right| = 1+\lfloor 2^k\log x\rfloor$$2^k\log(x)$$\log(x)$$k$$\log(x)$$k$$1$$x^{2^k}$$k$