Ожидаемое количество свопов в пузырьковой сортировке

Учитывая массив из целых чисел, каждый элемент в массиве может быть увеличен на фиксированное число с некоторой вероятностью , . Я должен найти ожидаемое количество перестановок, которые будут иметь место для сортировки массива с помощью пузырьковой сортировки .$A$$N$$b$$p[i]$$0 \leq i < n$

Я пробовал следующее:

1. Вероятность для элемента для может быть легко вычислена из заданных вероятностей.$A[i] > A[j]$$i < j$

2. Используя вышесказанное, я рассчитал ожидаемое количество свопов как:

   double ans = 0.0;
   for ( int i = 0; i < N-1; i++ ){
       for ( int j = i+1; j < N; j++ ) {
           ans += get_prob(A[i], A[j]); // Computes the probability of A[i]>A[j] for i < j.
   

В основном я пришел к этой идее, потому что ожидаемое количество свопов можно рассчитать по количеству инверсий массива. Таким образом, используя данную вероятность, я вычисляю, будет ли число поменяно местами с числом .A [ j $A[i]$$A[j]$

Обратите внимание, что исходные элементы массива могут быть в любом порядке, отсортированы или не отсортированы. Тогда каждое число может измениться с некоторой вероятностью. После этого мне нужно рассчитать ожидаемое количество свопов.

Я уже писал подобный вопрос, но он не имел всех ограничений.

Я не получил никаких хороших подсказок о том, нахожусь ли я даже на правильном пути или нет, поэтому я перечислил все ограничения здесь. Пожалуйста, дайте мне несколько советов, если я думаю о проблеме неправильно.

Пусть определяется следующим образом:$\sf{Bubble Sort}$

for (j = A.length; j > 1; j--)
    for (i = 0; i < j - 1; i++)
        if (A[i] > A[i + 1])
            swap(i, i + 1, A)

Учитывая некоторую перестановку , говорят , что инверсия произошла, если x j < x $x_1, \cdots, x_n$$x_j < x_i$ для некоторого Мы видим , что B U Ь б л е S O R T выполняет проверку инверсии для каждой пары, и если да, то выполняет своп. Пусть X будет количеством свопов. Нетрудно увидеть, в худшем случае есть X = ($i < j.$$\sf{Bubble Sort}$$X$ возможны перестановки. Но нас интересует ожидаемый случай, который мы можем вычислить, определивXв терминах инверсий вBubbleSort.$X = \binom{n}{2}$$X$$\sf{Bubble Sort}$

Пусть теперь где I i j - переменная индикатора, для которой существует инверсия для некоторой пары ( i , j ) . Ожидание определяется как E [ X $X = \sum_j \sum_{i<j} I_{ij}$$I_{ij}$$(i,j)$$E[X] = E[\sum_j \sum_{i<j} I_{ij}] = \sum_j \sum_{i<j} E[I_{ij}]$, Теперь нам нужно определить .$P\{I_{ij}\}$

Принимая любую возможную перестановку в качестве входных данных, каждая с одинаковой вероятностью, можно показать, что . Причина этого заключается в том, что при любой возможной перестановке половина времениxj<xiи половина времениxi<xjдляi≠j.$P\{I_{ij}\} = \frac{1}{2}$$x_j < x_i$$x_i < x_j$$i \neq j$

$E[X] = \sum_j \sum_{i<j}E[I_{ij}] = \sum_j \sum_{i<j} \frac{1}{2} = \binom{n}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n(n-1)}{4}$