Булевы функции Тьюринга завершены

9

Булева функция - это функция . $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$

Известно, что логический базис является полным по Тьюрингу, поскольку он позволяет переворачивать любую последовательность или оставлять ее без изменений. То же самое можно сказать о воротах . $(\vee,\wedge)$ $s\in\{0,1\}$ $\mathrm{XOR}$

В этом смысле мы можем начать с начальной конфигурации машины такой что и ее с последовательными значениями : $\textbf{b}=(b_1,\ldots,b_n)$ $b_i\in\{0,1\}$ $\mathrm{XOR}$ $\textbf{v}_i$

$\textbf{b}\oplus\textbf{v}_1\oplus\textbf{v}_2\oplus\textbf{v}_3\ldots$

Каждое состояние будет представлять перестановку некоторого элемента в . Этот процесс эффективно имитирует машину Тьюринга и предполагает наличие некоторого генератора значений . $\textbf{v}_i$ $\textbf{b}$ $\textbf{v}_i$

Можно ли сказать, что булевы функции Тьюринга завершены?

turing-machines turing-completeness boolean-algebra

— user13675
источник

1

Как этот механизм мог застрять в бесконечной петле?

— Гильденстерн

Я предполагаю, что дело в том, что, хотя формализм булевой схемы изоморфен формализму Тьюринга, он не говорит вам, как создать или сгенерировать такую программу ... Вам просто необходимо "знать" значения

.. .

v_{i}

$\textbf{v}_i$

— user13675

8

Неформально язык (программирования) является тьюринговым, если каждая вычислимая функция имеет представление. Общая вычислимая функция принимает ввод произвольного размера. Булевы функции, с другой стороны, принимают ввод фиксированного размера. Следовательно, булевы функции даже не считаются потенциально полными по Тьюрингу.

Соответствующее понятие полноты здесь является полной основой связок. Набор связок ( -арные функции на булевых значениях для произвольного ) является полным, если каждая булева функция на (для произвольного ) может быть представлена с помощью связок. Следующие множества являются полными: базис де Моргана и базис . В отличие от $k$ $k$ $x_1,\ldots,x_n$ $n \geq 1$ $\{\lnot,\lor,\land\}$ $\{\lnot,\Rightarrow\}$ $\{\lnot,\oplus\}$ не является полным: он может выражать только линейные функции.

— Юваль Фильмус
источник

Будет ли их аналог, булевы схемы, завершен по Тьюрингу? Я предполагаю, что это так, как Кук (в своем доказательстве NP-полноты 3SAT) показал, как машины Тьюринга и логические схемы эквивалентны?

— user13675

@ user13675 Нет, это точно такая же проблема. Каждая остановка машины Тьюринга может быть преобразована в эквивалентную логическую схему или формулу для каждого размера ввода, но для каждого размера вам понадобится другой.

— Юваль Фильмус

5

строго говоря, как ответил YF, конечные цепи не могут быть полными по Тьюрингу.

Тем не менее, стоит упомянуть лидерство в ответ на этот вопрос (и, возможно, то, что вы ищете) - тесно связанную концепцию, довольно широко используемую в теории, где схемы используются для вычисления функций таким образом, который сильнее, чем полный Тьюринга.

$n$ $C_n$

— ВЗН
источник