В чем сложность вычисления коэффициента ранговой корреляции Спирмена?

Я изучал ранговый коэффициент корреляции Спирмена

$\qquad \displaystyle \rho = \frac{\sum_i(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_i (x_i-\bar{x})^2 \sum_i(y_i-\bar{y})^2}}$ .

для двух списков и . В чем сложность алгоритма?$x_1, \dots, x_n$$y_1, \dots, y_n$

Поскольку алгоритм должен просто вычислять $n$ вычитаний, возможно ли быть $O(n)$ ?

Вы должны вычислить

• два средних,
• $2n$ различия,
• три суммы с слагаемыми - которые можно вычислить за постоянное время - каждая и$n$
• одно деление, одно умножение и один квадратный корень.

Все это может быть сделано за линейное время, если мы предположим, что элементарные арифметические операции выполняются за постоянное время, поэтому полное время в , безусловно, возможно. Обратите внимание, что вычисление корня может все испортить.$O(n)$

Что касается пространства, у вас есть несколько вариантов:

• Храните только средние значения, то есть два числа ( с максимальным числом). Вы должны пересчитать все различия, то есть выполнить в общей сложности вычитаний.$O(\log M)$$M$$6n$
• Сохраните среднее и различия, то есть числа ( ). Это экономит вам вычитаний.$2n+2$$O(n \cdot \log M)$$4n$

Что предпочтительнее, зависит от вашего контекста.

Вы пропустили важный шаг ... У вас есть формула для корреляции Пирсона. Что делает его копейщиком, так это то, что x и y являются рангами двух исходных переменных. Этот шаг ранжирования должен учитываться для сложности коэффициента корреляции копья. По сути, вы должны отсортировать каждую из двух переменных, которые будут зависеть от выбранного вами алгоритма сортировки, а затем выполнить вычисления, упомянутые выше.