Что такое алгоритм bicriteria приближение?

Что такое алгоритм bicriteria приближение? Это продолжает прибывать в случае потока данных кластеризации. Это связано с многоцелевой оптимизацией?

Именно там я наткнулся на него: cis.upenn.edu/~sudipto/mypapers/datastream.pdf. Статья посвящена потоковой версии алгоритма k-средних. В статье есть ссылки, но ни одна из них не дает объяснения, что такое алгоритм бикритериальной аппроксимации. Похоже, я не могу найти в Google ничего, что дало бы мне точное определение.

Я расширю ответ Ювала Фильмуса , предоставив интерпретацию, основанную на многоцелевых задачах оптимизации .

Единственная цель оптимизации и приближения

В компьютерных науках мы часто изучаем проблемы оптимизации с одной целью (например, минимизировать f ( x ) с некоторыми ограничениями). При доказательстве, скажем, NP-полноты обычно рассматривают соответствующую проблему бюджета . Например, в задаче с максимальной кликой цель состоит в том, чтобы максимизировать мощность клики, а проблема с бюджетом - это проблема определения, существует ли клика размером не менее k , где k задается как часть входных данных для эта проблема.

Когда невозможно эффективно вычислить оптимальное решение, как в случае задачи максимальной клики, мы ищем алгоритм приближения , функцию, которая выводит решение в мультипликативном множителе оптимального решения. Вы также можете рассмотреть алгоритм аппроксимации для бюджетной задачи, функцию, которая выводит решение, удовлетворяющее f ( x ) ≥ ck в случае задачи максимизации, где c - число меньше единицы. В этой ситуации решение может нарушить жесткое ограничение f ( x ) ≥ k , но «серьезность» нарушения ограничена c .

Многоцелевая оптимизация и двухкритериальное приближение

В некоторых случаях вы можете оптимизировать две цели одновременно. В качестве грубого примера я, возможно, захочу максимизировать свой «доход» при минимизации моей «стоимости». В такой ситуации не существует единого оптимального значения, поскольку существует компромисс между двумя целями; Для получения дополнительной информации см. статью в Википедии об эффективности Парето .

Один из способов превращения двухцелевой задачи оптимизации в одноцелевую задачу оптимизации (для которой мы можем рассуждать об оптимальном значении целевой функции) - это рассмотреть две проблемы ограничения , по одной для каждой цели. Если проблема состоит в том, чтобы одновременно максимизировать f ( x ) при минимизации g ( x ), первая проблема ограничения состоит в том, чтобы минимизировать g ( x ) с учетом ограничения f ( x ) ≥ k , где k задается как часть входных данных для это одноцелевая задача оптимизации. Вторая проблема ограничения определяется аналогично.

Алгоритм аппроксимации ( α , β ) - бикритериев для первой задачи с ограничениями - это функция, которая принимает параметр бюджета k в качестве входных данных и выводит решение x так , что

• $f(x) \geq \alpha k$
• $g(x) \leq \beta g(x^*)$

$x^*$

• $f(x) \geq \alpha f(x^*)$
• $g(x) \leq \beta \ell$

Другими словами, алгоритм бикритериальной аппроксимации является одновременно аппроксимацией для задачи бюджета в первой задаче и задачи оптимизации во второй задаче. (Это определение было адаптировано на четвертой странице « Субмодульная оптимизация с субмодульным покрытием и субмодульными ограничениями на рюкзак », Iyer and Bilmes, 2013.)

Неравенства меняют направление, когда цели переключаются с максимума на минимум или наоборот.

$k$$\rho$$k$$V_1,\ldots,V_k$$\rho$$E(V_1,\ldots,V_k)$$\rho$

$f(n),g(n) \geq 1$$f(n),g(n)$$V_1,\ldots,V_k$$f(n)\rho$$g(n)\mathrm{OPT}$$\mathrm{OPT}$$\rho$

Другими словами, алгоритм бикритериальной аппроксимации достигает определенного коэффициента аппроксимации, нарушая некоторое ограничение на некоторую ограниченную величину. Пример алгоритма бикритериальной аппроксимации для только что описанной задачи см. В статье братьев Макарычевых.