Пересечение и объединение регулярного и нерегулярного языка

Пусть регулярный, регулярный, не регулярный. Покажите, что не является регулярным, или приведите контрпример. $L_1$ $L_1 \cap L_2$ $L_2$ $L_1 \cup L_2$

Я попробовал это: Посмотрите на . Это регулярно. Для этого я могу построить конечный автомат: регулярный, регулярный, поэтому удалите все пути (конечное количество) для из конечного количества путей для . Таким образом, для всего этого есть ограниченное количество путей. Эта вещь не пересекается с , но как я могу доказать, что объединение (регулярное) и (не регулярное) не является регулярным? $L_1 \setminus (L_2 \cap L_1)$ $L_1$ $L_2 \cap L_1$ $L_1 \cap L_2$ $L_1$ $L_2$ $L_1 \setminus (L_1 \cap L_2)$ $L_2$

formal-languages regular-languages

— Kevin
источник

«Итак, удалите все пути (конечное количество) для из конечного количества путей для » - что это должно означать? Обычным способом построения автомата для разности является использование и хорошо известных конструкций для дополнения и пересечения.

L_{1} \cap L_{2}

$L_1\cap L_2$

L_{1}

$L_1$

A ∖ B = A \cap \bar{B}

$A \setminus B = A \cap \overline{B}$

— Рафаэль

Я предпочитаю менять название этого вопроса. Название вопроса само по себе является неправильным.

— Нитищ

Ответы:

Мы можем доказать это противоречием. Давайте определим . Тогда мы можем переформулировать : $\overline{L_1} = \Sigma^* \setminus L_1$ $L_2$

$L_2 = ((L_1 \cup L_2) \setminus L_1) \cup (L_1 \cap L_2) = ((L_1 \cup L_2) \cap \overline{L_1}) \cup (L_1 \cap L_2)$

Мы знаем:

Обычные языки закрыты на объединение, пересечение и дополнение
$\overline{L_1}$ и являются регулярными $L_1 \cap L_2$
$L_2$ не регулярно

Теперь предположим, что является регулярным: Тогда является регулярным (так как это только объединение / пересечение регулярных языков), поэтому будет обычным. Это противоречие, поэтому наше предположение неверно, и не может быть регулярным. $L_1 \cup L_2$ $((L_1 \cup L_2) \cap \overline{L_1}) \cup (L_1 \cap L_2)$ $L_2$ $L_1 \cup L_2$

— Майк Б.
источник

Я думаю, что понял. Но почему дополнение обычного языка регулярно? Я не понимаю эту часть.

— Кевин

@Kevin Это известная лемма, поэтому вы должны найти доказательство в любом учебнике. Один из способов доказательства - взять конечный автомат и поменять принимающее и непринятое состояния: вы получаете автомат, который распознает язык дополнения.

— Жиль "ТАК - перестать быть злым"

А что за недетерминированные конечные автоматы? Предположим, у нас есть автоматы. , одно начальное состояние, две стрелки из этого состояния с в другое состояние. Одно из этих состояний принимает, а другое нет. Итак, . Если мы теперь поменяем принимающие состояния, он все равно будет принимать , поэтому он не считает, что он принимает язык дополнения!

A = {a, b}

$A = \{a,b\}$

a

$a$

L (M) = {a}

$L(M)=\{a\}$

{a}

$\{a\}$

— Кевин

Доказательство Жиля работает только для детерминированных конечных автоматов, что - для обычных языков - не является ограничением. Но, по его словам, эту лемму можно найти в любом учебнике.

— Майк Б.

@Kevin: Майк означает, что у каждого обычного языка есть детерминированный автомат, который распознает его, поэтому вы всегда можете его использовать.

— reinierpost

-4

Это не правильно. Рассмотрим , . регулярный, нет; но . $L_1 = \{a, b\}^*$ $L_2 = \{a^n b^n : n \ge 0\}$ $L_1$ $L_2$ $L_1 \cup L_2 = L_1$

— vonbrand
источник

Вы не выполнили условие, что является регулярным.

L_{1} \cap L_{2}

$L_1 \cap L_2$

— Андрей Бауэр