10-я проблема Гильберта и диофантово уравнение Чейтина «Компьютер»?

В мета математике Чейтина! В Поисках Омеги он кратко рассказывает о 10-й проблеме Гильберта. Затем он говорит, что любое диофантово уравнение можно заменить на два равных полинома с положительными целыми коэффициентами: .$p=0$$p=0 \iff p_1 = p_2$

Затем он говорит, что мы можем думать об этих уравнениях как о «компьютере»:

Компьютер диофантовых уравнений : Программа: , вывод: , время:

$$L(k,n,x,y,z,...)=R(k,n,x,y,z,...)$$ $k$ $n$ $x,y,z,...$

С левой стороны , правый боковой . Он говорит, что - программа этого компьютера, которая выводит . Он также говорит, что неизвестные являются многомерной переменной времени .$L$$R$$k$$n$

Что смущает меня, так это то, что он говорит, что 10-я проблема Гильберта явно не решаема, если смотреть таким образом. Он в основном говорит «из-за проблемы остановки Тьюринга». Но я не вижу связи (я только начинаю изучать теорию). Я надеялся, что кто-то мог бы более четко объяснить, в чем здесь смысл Чейтина.

Я знаю, что проблема остановки Тьюринга в основном гласит, что вы не можете предсказать, когда программа остановится до того, как она действительно остановится (учитывая ограниченное количество времени). Что такое приложение к 10-й проблеме Гильберта, используя обозначения, изложенные Чейтиным?

Хороший вопрос. Похоже, вам может понадобиться дополнительная справка по 10-й проблеме Гильберта. Я надеюсь, что это не излишне.

Проблема спрашивает:

Существует ли алгоритм, который с учетом диофантова полинома решает, есть ли установка его переменных, которая делает его равным ?$0$

Это было решено в 70-х годах как следствие MRDP (также называемого теоремой Матиясевича, если вам хочется ее искать), в котором говорится:

Определите: множество является диофантовым, если на входах существует диофантовы многочлен такой что .$D \subset \mathbb{N}$$p$$k+1$$D = \{ x \, | \, \exists y \in \mathbb{R}_+^k \, p(x, y) = 0\}$

Диофантовы множества - это именно те, которые распознаются машинами Тьюринга.

Эта теорема очевидна в одном направлении (каждое диофантово множество распознается машиной Тьюринга - на входе просто попросите вашу машину угадать векторы , оцените и остановите, если / когда вы обнаружите, что ). Это совершенно неочевидно в другом направлении - почему верно, что каждый узнаваемый набор Тьюринга является диофантовым? Схемы кодирования отвратительны, но, поверьте мне, это можно сделать.$x$$y \in \mathbb{R}_+^k$$p(x, y)$$p(x, y) = 0$

В любом случае, как теорема MRDP решает 10-ю проблему Гильберта? Хорошо...

Ради противоречия давайте представим, что у нас есть алгоритм, который, учитывая диофантовы многочлен , решает, существует ли входной вектор который вызывает .$p(y)$$y$$p(y) = 0$

Теперь я собираюсь использовать этот волшебный алгоритм для решения проблемы остановки. Имея машину, я буду использовать отвратительную кодировку диофантовых уравнений, чтобы преобразовать задачу «Останавливается ли на входе ?» в проблему "Имеет ли диофантовы полином набор входов, которые делают его равным ?" Тогда я буду использовать мой волшебный алгоритм для решения этой проблемы, и теперь я решил проблему остановки.$M$$x$$p(y | x)$$0$

Конечно, это невозможно, поэтому в действительности не может быть магического алгоритма, который ищет входной вектор, который вызывает . Точно так же не может быть алгоритма, который смотрит на два диофантовых полинома и решает, равны ли они когда-либо. Это то, что говорит Чейтин.$p(y) = 0$