Почему полнота по Тьюрингу верна?

Я использую цифровой компьютер, чтобы написать это сообщение. У такой машины есть свойство, которое, если подумать, на самом деле весьма примечательно: это одна машина, которая, при правильном программировании, может выполнять любые возможные вычисления .

Конечно, вычислительные машины того или иного вида восходят к древности. Люди создали машины, которые предназначены для выполнения сложения и вычитания (например, счет), умножения и деления (например, правила скольжения), и более специфичных для предметной области машин, таких как калькуляторы для определения положения планет.

Поразительной вещью в компьютере является то, что он может выполнять любые вычисления. Любые вычисления вообще. И все без необходимости переделывать машину. Сегодня все воспринимают эту идею как должное, но если вы остановитесь и задумаетесь над ней, удивительно, что такое устройство возможно.

У меня есть два актуальных вопроса :

1. Когда человечество выяснило, что такая машина возможна? Были ли когда-нибудь серьезные сомнения в том, можно ли это сделать? Когда это было решено? (В частности, было ли это решено до или после первой фактической реализации?)

2. Как математики доказали, что машина, полная Тьюринга, действительно может вычислить все?

Этот второй суетливый. Каждый формализм , кажется, есть некоторые вещи , которые не могут быть вычислены. В настоящее время «вычислимая функция» определяется как «все, что может вычислить машина Тьюринга». Но откуда мы знаем, что нет более мощной машины, способной вычислять больше? Откуда мы знаем, что машины Тьюринга являются правильной абстракцией?

Человечество формализовало вычисления и разработало две системы для них в 1936 году с оригинальными документами Алонзо Черча о -calculus и Алане Тьюринге (которому сегодня, 23 июня 2012 года, исполнилось бы 100 лет, если бы не презрительные обстоятельства, приведшие к его раннему уходу) на то, что стало известно как машины Тьюринга. Оба математика решали проблему Entscheidungs .$\lambda$

Хотя статья Черча была опубликована чуть раньше, Тьюринг не знал об этом, когда разрабатывал свои идеи, и подход Тьюринга оказался более полезным для проектирования машин реального мира. Это потому, что он показал, как спроектировать универсальную машину Тьюринга, которую можно запрограммировать на выполнение любых вычислений. Эта универсальная машина с конкретной архитектурой, основанной на работе Джона фон Неймана, является основной идеей машины, на которой вы читаете мой ответ.

Как вы заметили, вычислимый определяется как «вычислимый на машине Тьюринга», и все другие разумные модели вычислений оказались эквивалентными по своей мощности. Вера в то, что все разумные модели вычислений эквивалентны в решении проблем, которые они могут решить, известна как тезис Черча-Тьюринга . В своем первоначальном виде оно почти полностью верилось ученому сообществу. На самом деле не совсем ясно, что это значит для доказательства / опровержения тезиса Черча-Тьюринга ; во многих отношениях это становится эмпирическим вопросом.

$\lambda$ вычислимо) квантовые вычисления все еще эквивалентны модели Тьюринга.

Есть причина, по которой она называется машиной Тьюринга, и это потому, что она была изобретена Аланом Тьюрингом. Он сделал статью 1936 года, обосновав эти концепции. Если вы хотите узнать больше о машинах Тьюринга, проверьте бумагу. До того, как он спроектировал и построил тот, который взломал Enigma, он серьезно сомневался, что эта концепция действительно может работать. Однако англичане были в отчаянии, и он был гением, поэтому они доверяли ему, и это окупилось.

Тем не менее, когда вы думаете об этом еще немного, это действительно не так удивительно. Задолго до Тьюринга было известно, что вся математика может быть сведена к некоторому набору аксиом. Все, что вам нужно сделать, это дать набору инструкций возможность выполнять эти аксиомы, и все готово.