Алгоритм сопоставления чисел с минимальным количеством ходов

Это своего рода вопрос о расстоянии редактирования, и он очень прост. У меня просто мозги на эту тему, и до сих пор не могу понять.

---

Учитывая ряд чисел, например

[3, 1, 1, 1]

Как наиболее эффективно превратить все числа в одно и то же число с минимальным количеством «ходов»? Под «перемещением» подразумевается добавление или удаление одного из числа.

В приведенном выше примере наиболее эффективными являются следующие шаги:

[1, 1, 1, 1]

Это потребует 2 хода, уменьшая первый номер в два раза.

Я не могу найти лучший способ выяснить это, учитывая гораздо большие массивы из сотен чисел.

Первоначально я пытался вычислить округленное среднее число (сумма всех, деленных на длину), а затем уменьшить их до вычисленного среднего, но в приведенном выше примере это сломалось, потребовав 4 хода вместо 2.

Я полагаю, я мог понять:

1. Среднее,
2. Режим,
3. Медиана

и получите расстояние редактирования каждого из них, выбрав минимальное расстояние. Однако я не уверен, что это будет правильно в каждом отдельном случае. Как я могу знать?

Ответ - взять медиану. Одним из свойств медианы является то, что она минимизирует расстояние L1 до каждого элемента. (Чтобы понять смысл статьи в Википедии, возьмите распределение вероятностей за равномерное распределение по вашей исходной серии чисел).

Это алгоритм, который решает проблему (изначально написанный dc2 ):

function median(arr) {
  arr.sort(function(a, b) { return a - b; });
  var half = floor(arr.length/2);
  if ( arr.length % 2 ) {
    return arr[half];
  } else {
    return (arr[half-1] + arr[half]) / 2.0;
  }
}

function minl1(arr) {
  var moves = 0;
  var mdn = median(arr);
  for ( var i = 0; i < arr.length; ++i ) {
    moves += Math.abs(mdn - arr[i]);
  }
  return moves;
}

minl1([3, 1, 1, 1]); // -> 2

Как упоминает TCSGrad, учитывая список целых чисел , вы ищете целое число минимизирующее Полезно вычислить : Когда переходит от к , количество переходит от к . Более того, он переключает значения только в точках$x_1,\ldots,x_n$$m$

$$\delta(m) = \sum_{i=1}^n |m - x_i|.$$ $\delta(m+1) - \delta(m)$ $$\delta(m+1) - \delta(m) = \sum_{i=1}^n \begin{cases} +1 & m \geq x_i \\ -1 & m < x_i \end{cases} = \#\{i : m \geq x_i\} - \#\{i : m < x_i\}.$$ $m$$-\infty$$+\infty$$\delta(m+1) - \delta(m)$$-n$$n$$x_1,\ldots,x_n$, Нетрудно проверить, что оптимальным значением является минимальная точка, в которой . Эта минимальная точка является одной из , поэтому расстояние редактирования равно .$m$$\delta(m+1) - \delta(m) \geq 0$$x_i$$\min(\delta(x_1),\ldots,\delta(x_n))$

Предположим далее, что все различны и что нечетно. Пусть будет медианой . Тогда то время как , и поэтому является единственным оптимумом. Если четно, то аналогичный расчет показывает, что мы можем выбрать любую точку в интервале, соединяющую медианы. Подобные, но более сложные рассуждения показывают, что любая медиана является оптимальной, даже если не различимы. Так что на самом деле нет необходимости вычислять для всех .$x_i$$n$$m$$x_i$$\delta(m+1) - \delta(m) = 1$$\delta(m) - \delta(m-1) = -1$$m$$n$$x_i$$\delta$$x_i$

Проблема может быть сформулирована как проблема LP:

Учитывая набор из чисел , решите следующий LP:$n$$[a_1,a_2... a_n]$

$$\min \sum |a_i - x|$$

(Удалены ограничения на , которые не были необходимы, как указал Рафаэль)$x$

Как только LP будет решен, вы получите значение соответствующее решению. Если является целым числом, все готово, иначе округлите его до ближайшего целого числа.$x$$x$

РЕДАКТИРОВАТЬ : Как указано в комментариях, целевая функция должна быть сумма по абсолютной разности. Чтобы преобразовать его обратно в стандартный LP, мы можем переписать LP следующим образом:

$$\min \sum a'_i$$

при условии:

$$a'_i \geq a_i - x\ \forall i$$ $$a'_i \leq a_i - x\ \forall i$$ $$a'_i, x' \geq 0\ \forall i$$

При оптимальном решении , и мы можем получить значение из решения.$a_i' = | a_i - x|\ \forall i$$x$