Сложный алгоритм триангуляции Делоне.

В книге Марка де Берга и др. «Вычислительная геометрия: алгоритмы и приложения» описан очень простой алгоритм грубой силы для вычисления триангуляций Делоне. Алгоритм использует понятие недопустимых ребер - ребер, которые могут отсутствовать в допустимой триангуляции Делоне и должны быть заменены некоторыми другими ребрами. На каждом шаге алгоритм просто находит эти недопустимые ребра и выполняет необходимые смещения (называемые переворотами ребер ) до тех пор, пока не будет недопустимых ребер.

Алгоритм юридической триангуляции ( $T$ )

Вход . Некоторые триангуляции $T$ точечного множества $P$ .
Выход . Законный триангуляция $P$ .

в то время как $T$ содержит недопустимое ребро $p_ip_j$
do
$\quad$ Пусть $p_i p_j p_k$ и $p_i p_j p_l$ - два треугольника, смежные с $p_ip_j$ .
$\quad$ Удалите $p_ip_j$ из $T$ и вместо этого добавьте $p_kp_l$ .
вернуть $T$ .

Я слышал, что этот алгоритм работает в $O(n^2)$ раз в худшем случае; однако мне не ясно, является ли это утверждение правильным или нет. Если да, как можно доказать эту верхнюю границу?

— Михаил Дубов
источник

В форме, которую вы указали выше, это займет

времени. Однако, используя стек, это можно сделать за

раз. Вы можете посмотреть последнюю страницу в этих примечаниях к лекции . Основной аргумент состоит в том, что может быть не более смещений ребер.

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

(\binom{n}{2})

$\binom{n}{2}$

— rizwanhudda

@rizwanhudda: Почему бы не сделать это ответом?

— Рафаэль

Триангуляцию Делоне можно рассматривать как нижнюю выпуклую оболочку 2-го набора точек, поднятую к параболоиду. Таким образом, если вы берете 2d набор точек и назначьте каждую точку координата , то проекция нижней выпуклой оболочки в -плоскости дает вам триангуляцию Делоне. $(x_i,y_i)$ $z$ $z_i=x_i^2+y_1^2$ $xy$

С этой точки зрения, что значит для ребра быть незаконным? Прежде всего, для каждой триангуляции мы можем использовать параболические карту , чтобы получить 3d поверхности (триангулированную) , что проекты , вплоть до . Конечно, эта поверхность не обязательно является выпуклой, если она будет выпуклой, будет триангуляцией Делоне. Проще говоря, ребро является препятствием для выпуклости поверхности, вогнутым ребром. Отражая этот край, мы меняем положение на поднятой поверхности только локально. Итак, давайте посмотрим на 4 балла $(p_i,p_j)$ $T$ $T$ $T$ $(p_i,p_j)$ . В 3d они образуют тетраэдр, который проецируется вниз на четырехугольник. Поскольку два треугольника и определяют вогнутый край , треугольники и определяют выпуклый край $p_i,p_j,p_k,p_l$ $p_ip_jp_k$ $p_ip_jp_l$ $(p_i,p_j)$ $p_kp_lp_i$ $p_kp_lp_j$ . Следовательно, отражение неправильного края соответствует замене вогнутого края выпуклым краем при подъеме. Обратите внимание, что этот переворот может превратить другие выпуклые края в вогнутые края. $(p_l,p_k)$

3D Flip interpretation Примечание: изображение не является геометрически правильным и должно рассматриваться только как эскиз.

Пусть - триангуляция после переворота. Поднял поверхность «содержит» поверхность . Под этим я подразумеваю, что если вы наблюдаете две поверхности с плоскости вы видите только треугольники с поверхности (или треугольники, которые находятся на обеих поверхностях). Можно также сказать, что поверхность охватывает больше объема. Кроме того, край теперь лежит «за» поднятой поверхностью, индуцированной при просмотре с плоскости . $T'$ $T'$ $T$ $xy$ $T'$ $T'$ $(p_i,p_j)$ $T'$ $xy$

Во время переворота мы получаем последовательность поверхностей со строго увеличивающимся объемом. Таким образом, ребро лежит «за» всеми этими поверхностями. Следовательно, он никогда не может появиться снова в процессе переворачивания. Поскольку есть только выберите 2 возможных ребра, мы имеем не более сальто. $(p_i,p_j)$ $n$ $O(n^2)$

— A.Schulz
источник