Позвольте мне уточнить:

Учитывая диаграмму рассеяния некоторого заданного числа точек n, если я хочу мысленно найти ближайшую точку к любой точке на графике, я могу сразу игнорировать большинство точек на графике, сужая свой выбор до некоторого небольшого, постоянного числа точек поблизости ,

Тем не менее, в программировании, учитывая набор точек n, чтобы найти ближайшую точку к какой-либо из них, требуется проверка каждой другой точки, которая является временем.${\cal O}(n)$

Я предполагаю, что визуальное представление графика, вероятно, эквивалентно некоторой структуре данных, которую я не в состоянии понять; потому что при программировании путем преобразования точек в более структурированный метод, такой как дерево квадрантов, можно найти ближайшие точки к точкам в за времени или амортизировать времяn k ⋅ log ( n ) O ( log n $k$$n$$k\cdot\log(n)$${\cal O}(\log n)$

Но до сих пор нет известных алгоритмов аммортизации (которые я могу найти) для поиска точек после реструктуризации данных.${\cal O}(1)$

Так почему же это представляется возможным при простом визуальном осмотре?

Ваша модель того, что вы делаете мысленно, неверна. На самом деле, вы работаете в два этапа:

1. Устраните все точки, которые находятся слишком далеко, за время.$O(1)$
2. Измерьте точек, которые находятся примерно так же близко, во время .Θ ( м $m$$\Theta(m)$

Если вы играли в такие игры, как петанк (миски) или керлинг, это должно быть знакомо - вам не нужно исследовать объекты, которые находятся очень далеко от цели, но вам может потребоваться измерить ближайших соперников.

Чтобы проиллюстрировать эту точку, какая зеленая точка ближе всего к красной точке? (Только чуть более чем на 1 пиксель, но есть один, который ближе всего.) Чтобы упростить задачу, точки даже имеют цветовую маркировку по расстоянию.

Эта картина содержит точек, которые находятся почти на круге, и всего зеленых точек. Шаг 1 позволяет исключить все, кроме около точек, но шаг 2 требует проверки каждой из точек. Не существует априорной оценки для .н ≫ 10 м м $m=10$$n \gg 10$$m$$m$$m$

Физическое наблюдение позволяет сократить размер задачи от всего набора из точек до ограниченного набора кандидатов из точек. Этот шаг не является этапом вычисления, как обычно понимается, потому что он основан на непрерывном процессе. Непрерывные процессы не подвержены обычным представлениям о вычислительной сложности и, в частности, асимптотическому анализу.$n$$m$

Теперь вы можете спросить, почему непрерывный процесс не может полностью решить проблему? Как это происходит с этими точками, почему мы не можем уточнить процесс, чтобы получить ?м = $m$$m=1$

Ответ в том, что я немного обманул: я представил набор точек, который состоит из почти ближайших точек и точек, которые находятся дальше. В общем, определение того, какие точки находятся в пределах точной границы, требует точного наблюдения, которое должно выполняться точка за точкой. Грубый процесс исключения позволяет исключить множество очевидных не кандидатов, но для простого перечисления оставшихся кандидатов требуется их перечисление.н - $m$$n-m$

Вы можете смоделировать эту систему в дискретном вычислительном мире. Предположим, что точки представлены в структуре данных, которая сортирует их по ячейкам в сетке, то есть точка сохраняется в списке для ячейки . Если вы ищете точки , которые находятся ближе всего к и ячейкам, содержащие этот момент содержит более одной другой точку, то достаточно проверить , содержащие клетки и 8 соседних клеток. Общее количество баллов в этих 9 ячейках равно . Эта модель учитывает некоторые ключевые свойства человеческой модели:( ⌊ x ⌋ , ⌊ y ⌋ ) ( x 0 , y 0 ) $(x,y)$$(\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor)$$(x_0, y_0)$$m$

• $m$ потенциально неограничен - всегда возможен вырожденный худший случай, например, точек, лежащих почти на окружности.
• Практическая эффективность зависит от выбора масштаба, соответствующего данным (например, вы ничего не сэкономите, если ваши точки на листе бумаги, а ваши ячейки имеют ширину 1 км).

Причина в том, что данные были помещены в «структуру данных», оптимизированную для этого запроса, и что время предварительной обработки при подготовке графика должно быть включено в ваши измеренные времена, которое пропорционально количеству точек, что дает O (n) сложность прямо там.

Если вы поместите координаты в таблицу, содержащую координаты X и Y каждой точки, вам потребуется гораздо больше умственных усилий для вычисления расстояний между точками, сортировки списка расстояний и выбора наименьшего.

В качестве примера запроса, который не работает хорошо визуально, можно посмотреть на ночное небо и - основываясь только на вашем виде и таблице координат каждой звезды - найти ближайшую звезду к Земле или какой астрологический знак имеет наименьшее расстояние между звезды, из которых он состоит. Здесь вам понадобится масштабируемая и поворачиваемая трехмерная модель, чтобы определить это визуально, когда компьютер посчитает, что это по существу та же проблема, что и ваш оригинал.

Этот вопрос начинается с ошибочной предпосылки. Вы просто думаете, что можете мысленно найти ближайшую точку в точке , но на самом деле, если не можете. Такое ощущение, что вы привыкли иметь дело с очень маленькими графами, но маленькие примеры могут вводить в заблуждение, когда мы имеем дело с асимптотической сложностью. Если вы попытаетесь сделать это с помощью точечной диаграммы с миллиардом точек, вы быстро обнаружите, что не можете сделать это за время.O ( 1 $O(1)$$O(1)$

Превосходство визуального осмотра зависит от важных помещений, которые не могут быть гарантированы в целом:

• масштабирование : вы сосредотачиваетесь на графическом представлении интересующей области. это означает, что геометрия была уменьшена, чтобы соответствовать вашему полю зрения. в общем случае это уже требует времени для предварительной обработки.$O(n)$

• считать : (см. комментарий Ника Алжера к ответу, данному DW), предположить, что количество очков превышает количество ваших клеток сетчатки - вы даже не определите все вовлеченные точки.

• дисперсия : (см. комментарий Ника Алжера к ответу, данному DW), предполагают набор точек на регулярной (например, гексагональной) сетке, подвергаемой небольшим случайным возмущениям. если эти возмущения станут меньше, чем разрешение вашей сетчатки (или любой другой наложенной сетки), вам будет не только сложно определить фактическое минимальное расстояние, но и выбрать неправильные пары точек с высокой вероятностью.

Предполагая, что психические процессы включают некоторую растеризацию геометрического представления (вместо, скажем, матрицы расстояний), эти процессы не масштабируются произвольно с размером экземпляра задачи. другими словами, для общей настройки потребуется процедура выборки предварительной обработки, работающая в . при визуальном осмотре человека параметры этой предварительной обработки встроены в аппарат восприятия (количество клеток сетчатки, область сетчатки), что делает эту стадию обработки .O ( 1 $O(n)$$O(1)$

1. Компьютер решает другую проблему. Требуется список точек, а не растровое изображение точек. Преобразование из списка в изображение, то есть «построение» точек, занимает O(n)время.

   Быстрый! Что ближе всего к (1,2):

   • (9, 9)
   • (5, 2)
   • (3, -2)
   • (4, 3)
   • (0, 4)
   • (1, 9)

   Намного сложнее, верно? Бьюсь об заклад, если бы я составил список вдвое дольше, вам пришлось бы выполнять вдвое больше работы.

2. Вы не знаете, сколько работы ваш мозг делает. Вы не «просто знаете», какая точка ближе. Ваш мозг выполняет вычислительную работу, чтобы выяснить этот ответ и сделать его доступным. Мозг работает над каждой точкой параллельно, поэтому время завершения остается примерно одинаковым, но количество требуемой работы все еще увеличивается с увеличением количества точек.

По той же причине, когда вы смотрите на треугольник и знаете, что это треугольник, вы забываете о миллионах вычислений, которые делаете, не замечая этого.

Нейронные сети

По сути, вы - нейронная сеть, которая была обучена и загружена массами данных.

Возьмите игру сортировки детской формы в качестве примера:

Когда ребенок впервые взаимодействует с этим, вероятно, он попытается вставить фигуры в неправильные отверстия, это потому, что он еще не тренировал свой мозг или не нашел достаточно данных для построения сетей. Они не могут делать предположения о краях, размере и т. Д., Чтобы определить, какая форма соответствует отверстию.

Это кажется очевидным для вас (я надеюсь), потому что вы построили эти связи, вы можете даже подумать, что они интуитивно понятны и вам не нужно разбивать их, например, вы просто знаете, что треугольник соответствует треугольнику, и вам не нужно приближаться к размеру , посчитать края, и т.д. Это неправда, вы сделали все это в своем подсознании, единственной сознательной мыслью, которую вы имели, было то, что это треугольник. Многие миллионы вычислений произошли из визуального представления, понимания того, что он представляет, понимания того, что представляют собой отдельные элементы, а затем оценки их расстояний, того факта, что у вас была большая база данных для опроса, это стало проще.

Ваш мозг не бинарный

Данные, над которыми работает ваш мозг, не являются двоичными (насколько нам известно), не являются истинными или ложными, в них содержится много состояний, которые мы используем для интерпретации данных, мы также часто ошибаемся, даже когда следуем правильному процесс, это потому, что данные часто меняются. Я рискнул бы предположить, что наш мозг функционирует намного больше, чем квантовый компьютер, где биты находятся в приблизительном состоянии до чтения. То есть, если наш мозг работает как компьютер вообще, это действительно неизвестно.

Следовательно, алгоритм для работы с двоичными данными не будет работать так же. Вы не можете сравнить два. В своей голове вы используете концепции для выполнения, богатые типы данных, которые содержат гораздо больше информации, у вас есть возможность создавать ссылки там, где они не определены явно; увидев треугольник, вы можете подумать о Темной стороне Лунного покрова Пинк Флойд.

Возвращаясь к диаграмме рассеяния, нет причин, по которым вы не могли бы сделать это на компьютере, используя растровое изображение и измеряя расстояние от точки по увеличивающимся радиусам, пока не встретите другую точку. Возможно, это самое близкое к человеческому приближению. Вероятно, это будет намного медленнее из-за ограниченности данных и потому, что наш мозг не обязательно заботится о сложности вычислений и выбирает сложный маршрут для выполнения задач.

Это не будет O (1) или даже O (n), если n - количество точек, вместо этого его сложность теперь зависит от максимального линейного расстояния от выбранной точки до границы изображения.

ТЛ; др

Ваш мозг не бинарный компьютер.

вы забываете один важный шаг: вычерчиваете все те точки на графике, на который вы смотрите.

это по необходимости операция O (n).

после этого компьютер может использовать программное обеспечение для распознавания изображений, чтобы находить приблизительные точки, расположенные ближе всего к центру, почти так же, как человеческий глаз. Это наихудший случай операции O (sizeOfImage).

чтобы человек делал то же самое, что и компьютер, помните, что компьютер получает список координат и может просматривать только один за один раз.

Моя интерпретация вопроса:

Я не верю, что этот вопрос следует понимать упрощенно как проблему сложности вычислительной геометрии. Следует лучше понимать как высказывание: мы ощущаем способность находить ответ в постоянное время, когда можем. То, что объясняет это восприятие, и вплоть до этого объяснения и человеческих ограничений, может делать и компьютер.

$O(1)$$O(log( n))$

Это может быть подкреплено законами Вебера-Фехнера , в которых говорится, что наше восприятие должно измеряться в логарифмическом масштабе фактической физической меры. Другими словами, мы воспринимаем относительные вариации, а не абсолютные вариации. Именно поэтому, например, интенсивность звука измеряется в децибелах.

$O(log (n))$$O_\psi(log (log (n)))$$O_\psi$

$O_\psi(log (log (n)))$ что для всех практических целей, вероятно, неотличимо от постоянной с точки зрения восприятия, и к нему обязательно добавляется некоторое постоянное время, чтобы начать процесс распознавания и подтвердить результат.

С учетом физиологических ограничений

Приведенный выше вывод дополнительно подтверждается при рассмотрении этапов получения изображения.

ОП был осторожен, чтобы отделить построение правильной структуры данных, "такой как квадродерево", которая амортизируется по нескольким запросам.

Это не работает для большинства людей, которые не запоминают изображение. Я думаю, что изображение сканируется для каждого запроса, но это не подразумевает сканирование всех точек: не в первый раз и не для последующих запросов.

$T_{scan}$$T_{scan}$

$m$$O_\psi(log (log (m)))$

$2^{27}$$log_2(27)$

Не зная фактических единиц измерения, которые будут использоваться, это просто показывает, что изменение для обработки в худшем случае того же порядка, что и другие операции с постоянным временем. Следовательно, вполне естественно, что воспринимаемое время нахождения ближайшей точки ощущается постоянным. , , определяем ли мы ближайшую точку или только набор более близких точек.

О контрпримерах и возможном решении

Конечно, легко создать контрпримеры, которые затрудняют определение ближайшей точки глазами из небольшого набора точек сближения. Вот почему ОП фактически запрашивает алгоритм, который быстро устраняет большинство точек, за исключением самых близких. Эта проблема возможной трудности выбора между несколькими близкими точками решается во многих ответах, причем пример парадигмальной точки ближайших точек находится почти на окружности вокруг контрольной точки. Как правило, законы Вебера-Фехнера не позволяют различать небольшие изменения расстояния на достаточно больших расстояниях. Этот эффект может на самом деле быть увеличен присутствием других точек, которые, хотя и устранены, могут исказить восприятие расстояний. Поэтому попытка определить ближайшую точку будет более сложной задачей, и вполне может потребовать специальных шагов исследования, таких как использование инструментов, которые полностью уничтожат ощущение постоянного времени. Но это явно выходит за рамки экспериментов, рассматриваемых ФП, и поэтому не очень актуально.

Вопрос , на который нужно ответить , - это вопрос, который фактически задает ФП, - есть ли способ устранить большинство точек, за исключением, возможно, оставшихся немногих, которые, кажется, имеют очень похожие расстояния до контрольной точки.

$O(log(n))$

Отказ от амортизированной стоимости не позволяет найти компьютерное решение, так как необходимо учитывать все моменты. Это подчеркивает существенное различие в вычислительной мощности мозга и человеческого восприятия: он может использовать аналоговые вычисления со свойствами, которые сильно отличаются от цифровых вычислений . Обычно это тот случай, когда миллиарды точек не различимы глазом, у которого нет разрешения видеть что-либо, кроме большого облака с различными оттенками темноты. Но глаз может затем сфокусироваться на соответствующей меньшей части и увидеть ограниченное количество точек, содержащих соответствующие. Он не должен знать все пункты в отдельности. Чтобы компьютер делал то же самое, вы должны были бы дать ему аналогичный датчик, а не точные числовые координаты каждой точки. Это совсем другая проблема.

«Простой визуальный контроль» в некоторых отношениях намного более эффективен, чем цифровые вычисления. И это также связано с физикой сенсоров, а не только с возможной большей вычислительной мощностью мозга.

У нас были студенты на экзаменах, которые, когда их спросили, как быстро вы можете отсортировать массив, заявят, что компьютеры глупы и нуждаются в n * log (n) (или хуже), тогда как люди могут делать это быстрее.

Ответ моего профессора был всегда: я дам список из 10.000 предметов. Давайте посмотрим, сможете ли вы придумать метод, который быстрее, чем компьютер.

И потом: сколько процессорных ядер задействовано, когда вы пытаетесь найти ближайшую точку? Вы не однопроцессорная машина, у вас есть нейронная сеть, которая обладает некоторой гибкостью, когда дело касается таких задач.

Я думаю, что @ Patrick87 дал вам подсказку: ваши глаза и мозг - это массивно параллельная вычислительная машина. Некоторые утверждали, что это не объясняет проблему, потому что для произвольно больших задач конечное число параллельных процессоров не имеет значения.

Но это действительно так: как намекают многие, ваши глаза (и мозг) имеют ограниченные возможности для решения этой проблемы; и это потому, что нельзя подходить к любому количеству точек в пределах нормального человеческого взгляда. Ваши глаза должны быть в состоянии различить их для начала, и если их слишком много, то они будут настолько близко, что ваши глаза не заметят разницы. Итог: это быстро для достаточно хороших точек, которые соответствуют вашему обычному зрению, то есть очень мало. В других случаях это не удастся.

Таким образом, вы можете решить эту проблему в O (1) для небольших и простых случаев, которые ваш мозг может обработать на одном дыхании. Помимо этого, он не может, и, следовательно, это даже не O ( что-нибудь ), потому что он, скорее всего, терпит неудачу.

Никто не упомянул, что эта проблема может быть решена очень быстро на компьютере с пространственным индексом. Это эквивалентно построению точек на изображении, чтобы ваши глаза могли быстро сканировать и устранить большинство точек.

Существует очень хороший алгоритм индексации, используемый Google и другими, чтобы найти ближайшую точку (точки), называемую Geohash. http://en.wikipedia.org/wiki/Geohash .

Я думаю, что это будет даже до конкурса в пользу компьютера. Меня не впечатлили некоторые ответы, в которых использовалось линейное мышление.

Если мы рассмотрим случай нахождения ближайших соседей в наборе точек n-измерений в евклидовом пространстве, сложность, как правило, ограничивается количеством измерений по мере того, как оно становится большим (т.е. больше, чем размер набора данных).

$O(\log^{d-2} n)$

Проблема нахождения ближайшей точки к узлу в графе имеет евклидово выражение всякий раз, когда граф может быть встроен в евклидово пространство с достаточно малым искажением. И используя список смежности с весами, нам все еще нужно построить список смежности.

$O(1)$

другие ответы хороши, но как насчет встречного вопроса о дзен, который растягивает основные рассуждения / предпосылку исходного вопроса до крайностей, чтобы показать некоторую ошибочность [но также является парадоксом в основе исследований ИИ ]:

если я могу думать с человеческим интеллектом, почему я не могу создать компьютер, который мыслит так же, как человек?

Есть несколько способов ответить на ваш вопрос, но в основном наши мыслительные процессы и способности восприятия мозга не обязательно доступны для самоанализа, и самоанализ, который мы действительно применяем к ним, может вводить в заблуждение. например, мы можем распознавать объекты, но у нас нет способа воспринимать / объяснять квазиалгоритмический процесс, который позволяет это сделать. также есть много психологических экспериментов, которые показывают, что есть тонкие искажения в нашем восприятии реальности и в частности восприятии времени, см., например, восприятие времени .

Ученые обычно полагают / предполагают, что человеческий мозг на самом деле использует алгоритмы, но они функционируют не так, как компьютеризированные, а также существует очень большое количество параллельной обработки, выполняемой в мозге через нейронные сети, которую нельзя сравнивать разумно с последовательные компьютерные алгоритмы. у млекопитающих значительная часть всего объема мозга отводится визуальной обработке.

Другими словами, человеческий мозг во многих отношениях является высокооптимизированными визуальными компьютерами, и они действительно во многих отношениях обладают способностью, которая превосходит величайшие в настоящее время суперкомпьютеры в мире, такие как распознавание объектов и т. д., и это связано с недостатками (в сравнении). в программно-аппаратных средствах, созданных человеком, по сравнению с биологией, которая была тщательно настроена / усовершенствована / оптимизирована в течение миллионов лет.

Вообще говоря, вы решаете две разные задачи, и если вы соревнуетесь в одном и том же соревновании, сложность будет равна O (1) для вас обоих. Почему? Давайте сделаем ситуацию немного проще - предположим, что у вас есть линия с одной красной точкой и n зелеными точками. Ваша задача - найти зеленую точку, которая ближе всего к красной точке. Все на графике. Теперь то, что вы делаете, и то, что делает ваша программа, в основном одно и то же - просто «уйдите» (в обоих направлениях) от красной точки и проверьте, является ли пиксель, на который вы смотрите, белым / черным (фон) или зеленым. Теперь сложность O (1).

Что интересно, некоторые методы представления данных дают ответы на некоторые вопросы сразу (O (1)). Основной пример очень прост - просто посчитайте белые пиксели на черном изображении (каждое значение пикселя равно 0 = черный или 1 = белый). Что вам нужно сделать, это просто добавить все значения пикселей - сложность одинакова для 1 белого пикселя и для 1000, но это зависит от размера изображения - O (м), m = image.width * image.height. Можно ли сделать это быстрее? Конечно, все, что нам нужно сделать, это использовать другой метод хранения изображений, который является целым изображением : теперь вычисляем результат O (1) (если у вас уже есть целое изображение). Другой способ - просто сохранить все белые пиксели в массиве / vector / list / ... и просто посчитать их размер - O (1).