Как проверить, является ли многоугольник монотонным относительно произвольной линии?

Определение : Многоугольник $P$ на плоскости называется монотонным относительно прямой $L$ , если каждая прямая, ортогональная $L$ пересекает $P$ не более двух раз.

Для данного многоугольника $P$ возможно ли определить, существует ли какая-либо прямая $L$ такая, что многоугольник $P$ является монотонным относительно $L$ ? Если да, то как?

Ранее я задал соответствующий вопрос (где я спросил , как определить , является ли многоугольник монотонна по отношению к определенной линии), но сейчас я заинтересован в том случае , когда $L$ является не дано или не указано заранее.

Возможно.

Считайте себя многоугольником и рассмотрите «вогнутые» вершины. Они точно определяют, какие линии будут пересекать многоугольник более чем в два раза. На следующем рисунке я отметил интервалы (красным) запрещенных углов. Если вы сложите их вместе и увидите дыру в красном диске, то есть разрешенные углы $δ$ (синим цветом). В этом случае многоугольник является монотонным по отношению к любой линии наклона $-1/\tan δ$ (зеленым цветом).

Теперь алгоритм.

Пусть быть я й вершина многоугольника. Сначала вычисляют абсолютный угол α i ребра ( v i v i + 1 ) и внутренний угол β i вершины v i . Используйте функцию, доступную на всех хороших языках программирования.$v_i=(x_i, y_i)$$i$$α_i$$(v_iv_{i+1})$$β_i$$v_i$atan2

β i = α i + 1 - α i + { 0,  если  α i + 1 ≥ α i 2 π,  если  α i + 1 < α

$$α_i=\mbox{atan2}(y_{i+1}-y_i,x_{i+1}-x_i)$$ $$β_i = α_{i+1}-α_i+ \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{ if } α_{i+1} ≥ α_i \\ 2π & \mbox{ if } α_{i+1} < α_i \\ \end{array} \right.$$

Обратный порядок вершин, если они не в порядке против часовой стрелки, т. Е. Если не является отрицательным. ( s = - 2 π : против часовой стрелки, $s=\sum_i β_i-nπ$$s=-2π$ : по часовой стрелке).$s=2π$

Следующее только для внутренних углов больше, чем π, то есть β j > π . Красные на моей картинке. Цель состоит в том, чтобы найти угол δ, который не входит в ∪ j [ α j + 1 , α j ] по модулю π . А именно такой, что для всех j таких, что β j > π :$m$$π$$β_j>π$$δ$$∪_j[α_{j+1},α_j]$$π$$j$$β_j>π$

( α j < δ < α j + 1 ),  если  α j < α j +

$$(δ<α_{j+1} ∨ α_j<δ) \mbox{ if } α_{j+1}<α_j$$ $$(α_j<δ<α_{j+1}) \mbox{ if } α_j<α_{j+1}$$

где - здесь нормализованное значение α j в [ 0 , π ) . Второй случай соответствует интервалу, выходящему за пределы π (поэтому на этот раз δ должен быть «внутри»).$α_j$$α_j$$[0,π)$$π$$δ$

Вероятно, есть более быстрый способ сделать это, но в можно отсортировать значения α j  mod  π на γ 1 , … γ m и проверить δ ∈ { γ$O(n^2)$$α_j\mbox{ mod }π$$γ_1,…γ_m$$δ∈\{\frac{γ_1}2,\frac{γ_1+γ_2}2,…,\frac{γ_{m-1}+γ_m}2,\frac{γ_m+π}2\}$

$δ$$L$$-1/\tan δ$$P$