Обычный язык не принят DFA, имеющий не более трех штатов

Опишите обычный язык, который не может быть принят ни одним DFA, имеющим только три состояния.

Я не совсем уверен, с чего начать, и мне было интересно, если кто-то может дать мне несколько советов или советов. Я понимаю, что лемму прокачки можно использовать для доказательства того, что язык не является регулярным, но в этом случае он должен быть обычным языком. Если у кого-то есть мысли, это будет оценено.

Можно утверждать, что лемма прокачки учитывает число состояний в DFA. Каждый язык принятый DFA с p- состояниями, удовлетворяет следующей лемме прокачки:$L$$p$

Каждое слово длиной не менее p можно разбить на w = x y z , где | х у | ≤ p и | у | ≥ 1 , такое, что x y i z ∈ L для всех i ≥ 0 .$w$$p$$w=xyz$$|xy| \leq p$$|y| \geq 1$$xy^iz \in L$$i \geq 0$

Вы можете использовать эту характеристику, чтобы доказать, что язык требует p + 1 состояний.$\{0^p\}$$p+1$

Другой метод заключается в использовании теоремы Майхилла - Нерода. Два слова являются неэквивалентных (относительно некоторого языка L ) , если для некоторого слова г , либо х г ∈ L и у г ∉ L или наоборот. Теорема Майхилла - Нерода утверждает, что если существует p попарно неэквивалентных слов, то каждый DFA для L имеет не менее p состояний. Для примера L = { 0 p } вы можете найти p + $x,y$$L$$z$$xz \in L$$yz \notin L$$p$$L$$p$$L = \{0^p\}$$p+1$попарно неэквивалентные слова, а именно .$\epsilon,0,\ldots,0^p$

Ответ Ювала великолепен. Более простая формулировка того, что он описал, состоит в том, что конечные автоматы не могут считать произвольно высокое число, и количество, на которое они могут рассчитывать, ограничено числом состояний в автоматах. Точнее, для того, чтобы автомат считал до , ему нужно состояние p + 1 (одно состояние будет 0 ).$p$$p+1$$0$

По сути, в этом и заключается вся идея леммы прокачки: если строка действительно длинная, конечные автоматы должны «забыть», как высоко она считается, и начинать все заново, что позволяет вам повторять раздел снова и снова, не заботясь о нем. ,

Следовательно, любой обычный язык, требующий подсчета до 3 для проверки слова в нем, не может быть описан конечными автоматами размера 3.

Вы можете думать о таком языке? (Ваш профессор может также ожидать, что вы докажете этот счетный аргумент, хотя в моем учебном плане это понимание леммы прокачки было воспринято как должное)

Существует алгоритм для минимизации DFA. Просто выберите язык с минимальным DFA из 4 (или более) состояний. Подойдет все, что имеет минимальную длину 3 символа, т. Е. Язык регулярного выражения или (еще проще) a 3 . Чтобы понять почему, взгляните на доказательство леммы прокачки для обычных языков.$a^3 a^*$$a^3$

другая идея, диагонализация ! Перечислите все DFA с тремя или меньшим количеством штатов, возьмите объединение всех из них, а затем возьмите дополнение. это DFA путем закрытия регулярных языковых операций. это можно построить с помощью алгоритма, но вопрос требует только описания .