Почему эта функция вычислима в

Мой учебник гласит: «Мы определяем функцию следующим образом: f ( 1 ) = 2 и f ( i + 1 ) = 2 f ( i ) 1.2 . Обратите внимание, что при заданном n мы легко можем найти в O ( n 1.5 ) умножить число i так , чтобы n зажалось между f ( i ) и f ( i + $f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}$$f(1)=2$$f(i+1)=2^{f(i)^{1.2}}$$n$$O(n^{1.5})$$i$$n$$f(i)$ . "$f(i+1)$

Как я могу убедить себя, что на самом деле мы можем легко найти за O ( n 1,5 ) времени? Поскольку f определяется рекурсивно, я думаю, что мы должны вычислить f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( 3 ) … f ( j ), пока f ( j ) ≥ n . Чтобы выяснить, сколько времени занимают эти вычисления, я думаю, что мы должны найти подходящую верхнюю границу для i, зависящую от $i$$O(n^{1.5})$$f$$f(1),f(2),f(3)\dots f(j)$$f(j)\geq n$$i$$n$и мы должны найти верхнюю границу времени выполнения функции $x\to2^{x^{1.2}}$ . В конце концов, мы можем показать цитируемое предложение. К сожалению, я не вижу ни того, ни другого.

Я забыл упомянуть: пожалуйста, обратите внимание, что мы находимся в недетерминированном контексте. Таким образом, считается вычислимым в O ( п $f$ с помощью недетерминированной машины Тьюринга.$O(n^{1.5})$

Поскольку довольно многие люди уже читали этот вопрос, причем некоторые из них сочли его полезным и интересным, но пока никто не ответил, я хочу предоставить дополнительную информацию о контексте: цитируемое утверждение является неотъемлемой частью доказательства теорема недетерминированной временной иерархии. Доказательство (с заявлением) можно найти, например, в книге Ароры и Барака , но я также нашел в Интернете немало других ресурсов, которые представляют такое же доказательство. Каждый из них называет утверждение простым или тривиальным и не раскрывает, как найти за O ( n 1,5 ) времени. Таким образом, либо все эти ресурсы, только что скопированные с Ароры и Барака, либо заявление на самом деле не так уж сложно.$i$$O(n^{1.5})$

Обозначим через длина числа x , т.е. ⌊ log 2 x ⌋ + 1 (для x > 0 ). Для вычисления 2 x требуется время O ( x ) в модели ОЗУ, поэтому для вычисления f ( i + 1 ) из f ( i ) требуется время O ( f ( i ) 1.2 ) = O ( |$|x|$$x$$\lfloor \log_2 x \rfloor + 1$$x > 0$$2^x$$O(x)$$f(i+1)$$f(i)$. Поэтому общее время работы . Поскольку f ( i ) растет быстрее, чем геометрически, общее время для вычисления f ( i + 1 ) равно O ( | f ( i + 1 ) | ) . Как вы указали, вы должны делать это до тех пор, пока f ( i + 1 ) ≥ n , что означает, что f ( i ) < n O ( | f $O(f(i)^{1.2}) = O(|f(i+1)|)$$f(i)$$f(i+1)$$O(|f(i+1)|)$$f(i+1) \geq n$$f(i) < n$ .$O(|f(i+1)|) = O(f(i)^{1.2}) = O(n^{1.2})$

В модели машины Тьюринга с одной лентой для вычисления требуется время O ( x log x ) , поэтому общее время работы составляет O ( n 1,2 log n ) = O ( n 1,5 ) . Алгоритм вычисления 2 x заменяет [ x ] на 1 [ [ x ] ] (здесь [ x ] - двоичное представление x , а [ $2^x$$O(x\log x)$$O(n^{1.2} \log n) = O(n^{1.5})$$2^x$$[x]$$1[[x]]$$[x]$$x$ является двоичным представлением, использующим разные цифры 0 ′ , 1 ′ ), а затем многократно выполняет преобразование [ [ x ] ] ⟶ 0 [ [ x - 1 ] ] , для которого требуется время O ( | x | ) = O ( журнал х ) .$[[x]]$$0',1'$$[[x]] \longrightarrow 0[[x-1]]$$O(|x|) = O(\log x)$