В реляционной алгебре мы сначала дадим неформальное определение левого (внешнего) объединения и продолжим доказывать, что оно, переименование, выделение, объединение и проекция могут создавать различия, а также что различие, выбор и объединение могут использоваться для построения левое (внешнее) соединение. На самом деле, мы будем делать это в обратном порядке: мы покажем, как создавать левые объединения, используя различия, а затем мы покажем, как строить различия, используя левые соединения.
Пусть и S имеют схемы ( R ′ , T ) и ( T , S ′ ) соответственно, где R ′ и S ′ являются наборами атрибутов в одной схеме, но не другой, а T является набором общих атрибутов.рS( R', Т)( Т, S')р'S'T
Пусть будет нулевой кортеж для схемы S ' . То есть это кортеж, состоящий из всех нулевых значений для каждого атрибута S ' . Затем мы определяем левое внешнее объединение следующим образом: это множество всех кортежей ( r , t , s ), принадлежащих схеме ( R ′ , T , S ′ ), где ...ш = ( е , е , . . . , ε )S'S'R LEFT JOIN S( т , т , с )( R', Т, S')
- кортеж в R ;( т , т )р
- (а) - кортеж из S или (b) s = w ;( т , с )Ss = w
- Если в наборе для s ≠ w , то ( r , t , w ) не в наборе.( т , т , с )S ≠ W(r,t,w)
Пример: схема - ( A 1 , A 2 , A 3 ) , схема S - ( A 2 , A 3 , A 4 ) , и мы имеем R = { ( 1 , 2 , 3 ) , ( 4 , 5 , 6 ) } и S = { ( 2 , 3 , 4 )R(A1,A2,A3)S(A2,A3,A4)R={(1,2,3),(4,5,6)} . По (1) и (2) получаем промежуточный результат { ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 1 , 2 , 3 , 6 ) , ( 1 , 2 , 3 , ϵ ) , ( 4 , 5 , 6 , ϵ ) } . По (3) мы должны удалить ( 1 , 2S={(2,3,4),(2,3,6)}{(1,2,3,4),(1,2,3,6),(1,2,3,ϵ),(4,5,6,ϵ)} , так как мы имеем (например) ( 1 , 2 , 3 , 4 ) и s = 4 ≠ ϵ = w . Таким образом, у нас остаются { ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 1 , 2 , 3 , 6 ) , ( 4 , 5 , 6 , ϵ ) }(1,2,3,ϵ)(1,2,3,4)s=4≠ϵ=w{(1,2,3,4),(1,2,3,6),(4,5,6,ϵ)}, ожидаемый результат для левого соединения.
Теорема: R LEFT JOIN Sэквивалентно (R EQUIJOIN S) UNION ((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w).
Доказательство: (R EQUIJOIN S)дает нам все необходимое для (1) и (2a). Мы утверждаем, что это ((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w)дает нам все формы, (r, t, w)требуемые (2b) и (3).
Чтобы увидеть это, первое уведомление , что (((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R)есть множество всех кортежей в , для которых нет соответствующего кортежа в S . Чтобы увидеть это, достаточно заметить, что, проецируя общие атрибуты из R и S (набор атрибутов T ) и принимая разницу, остается один со всеми и только теми кортежами (со схемой T ), которые представлены в R, но не S . С помощью R мы восстанавливаем все и только те кортежи в R, которые имеют значения для атрибутов в T, которые присутствуют в R, но отсутствуют в SRSRSTTRSEQUIJOINRRTRS а именно, набор кортежей, о котором мы до сих пор заявляли.
Далее, обратите внимание, что схема для R(((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) такая же, как и для (а именно ( R ' , T ) ), в то время как схема для W является S ' . Операция , следовательно, декартово произведение, мы получаем все кортежи вида ( г , т , ш ) , где нет ( т , ев ) в S , соответствующая ( г , т ) в R .R(R′,T)wS′JOIN(r,t,w)(t,s)S(r,t)R
Чтобы увидеть, что это именно тот набор кортежей, который нам нужно добавить для R EQUIJOIN Sпостроения R LEFT JOIN S, рассмотрим следующее: по построению выполняется (3), так как R EQUIJOIN Sне может содержать если содержит ( r , t , w ) (если это так, то вторая часть, содержащая ( r , t , w ), будет противоречием); если бы мы добавили еще один ( r , t , w ) не в , то было бы ((r,t,s)((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w)(r,t,w)(r,t,w)(r,t,w)((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w) в S , соответствующая ( г , т ) в R , и по определению, ( г , т , ев ) также были бы впротиворечие (3). Это завершает доказательство.(t,s)S(r,t)REQUIJOIN(r,t,s)R LEFT JOIN S
Теперь мы показываем, что левое соединение может использоваться для построения различий:
Теорема: R DIFFERENCE SэквивалентноPROJECT_T(SELECT_{t'=w}(R LEFT JOIN (SELECT_{s=s'}(((S JOIN RENAME_{T->T'}(S)))))))
Доказательство: обратите внимание, что здесь и S ′ пусты, поскольку все атрибуты являются общими для того, чтобы иметь смысл. Во-первых, мы создаем новое отношение из S , дублируя набор атрибутов в S (обработанный и ) так, чтобы он состоял из кортежей ( t , t ′ ) в наборе атрибутов ( T , T ′ ), где t = t ′ (обрабатывается ). Левое соединение оставляет нас с кортежами вида ( t , t ′ )R′S′DIFFERENCESSRENAMEJOIN(t,t′)(T,T′)t=t′SELECT(t,t′)где или т ' = ш . Теперь, чтобы избавиться от записей, которые также появляются в S , мы должны сохранить только кортежи формы ( t , w ) , которые обрабатываются самым внешним . Последний избавляется от временного набора атрибутов T ′ и оставляет нам разницу с точки зрения исходной схемы.t=t′t′=wS(t,w)SELECTPROJECTT′
Пример: Пусть и S = { ( 3 , 4 ) , ( 5 , 6 ) , ( 7 , 8 ) } . Сначала мы получаем S с набором атрибутов d T ′ : { ( 3 , 4 )R={(1,2),(3,4),(5,6)}S={(3,4),(5,6),(7,8)}SRENAMET′ . Операция дает нам декартово произведение со всеми девяти возможных спариваний; этот набор не написан здесь по причинам форматирования. Затем рагез это вниз к { ( 3 , 4 , 3 , 4 ) , ( 5 , 6 , 5 , 6 ) , ( 7 , 8 , 7 , 8 ) } . с{(3,4),(5,6),(7,8)}JOINSELECT{(3,4,3,4),(5,6,5,6),(7,8,7,8)}LEFT JOIN дает { ( 1 , 2 , ϵ , ϵ ) , ( 3 , 4 , 3 , 4 ) , ( 5 , 6 , 5 , 6 ) } . Дает { ( 1 , 2 , ε , ε ) } . Дает { ( 1 , 2 ) } , желаемый ответ.R{(1,2,ϵ,ϵ),(3,4,3,4),(5,6,5,6)}SELECT{(1,2,ϵ,ϵ)}PROJECT{(1,2)}