Структура данных с поиском, вставкой и удалением за амортизированное время ?

Существует ли структура данных для ведения упорядоченного списка, которая поддерживает следующие операции за время амортизации ? $O(1)$

GetElement (k) : возвращает й элемент списка. $k$
InsertAfter (x, y) : вставить новый элемент y в список сразу после x.
Удалить (x) : удалить x из списка.

Для последних двух операций вы можете предположить, что x указан как указатель непосредственно на структуру данных; InsertElement возвращает соответствующий указатель для y. InsertAfter (NULL, y) вставляет y в начало списка.

Например, начиная с пустой структуры данных, следующие операции обновляют упорядоченный список, как показано ниже:

InsertAfter (NULL, a) [a] $\implies$
InsertAfter (NULL, b) [b, a] $\implies$
InsertAfter (b, c) [b, c, a] $\implies$
InsertAfter (a, d) [b, c, a, d] $\implies$
Удалить (c) [b, a, d] $\implies$

После этих пяти обновлений GetElement (2) должен вернуть d, а GetElement (3) должен вернуть ошибку.

— В
источник

В « Оптимальных алгоритмах индексации списка и ранга подмножества» (1989 г.) я нашел решение этой проблемы.

Ω (\frac{l o g n}{l o g l o g n})

$\Omega{(\frac{log\ n}{log\ log\ n})}$

— AT

@ Рафаэль: Я думаю, он имеет в виду элемент, который будет называться если структура данных будет массивом. Массивы поддерживают первую операцию за время но не вторую; связанные списки поддерживают вторую операцию за время но не первую.

A [k]

$A[k]$

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

— Джефф

Также сбалансированные двоичные деревья поддерживают обе операции за времени.

O (\log n)

$O(\log n)$

— Джефф

@ Рафаэль: отредактировано, чтобы уточнить.

— Джефф

@JeffE динамический массив поддерживает первые два за амортизированное время ( cs.uwaterloo.ca/research/tr/1999/09/CS-99-09.pdf )

O (1)

$O(1)$

— Диего

Ответы:

NO.

Фредман и Сакс доказали, что любая структура данных, поддерживающая эти операции, требует не менее амортизированного времени на операцию . (Это ссылка [1] в статье Дитца, которую вы упомянули в своем первом комментарии.) Нижняя граница имеет место в очень мощной модели вычисления ячеечного зонда, которая учитывает только количество различных адресов памяти, к которым получают доступ обновление и запрос алгоритмы. $\Omega(\log n/\log\log n)$

Без каких-либо дополнительных предположений об операциях обновления и запросов структура данных Дитца является наилучшей (по крайней мере, с учетом постоянных факторов).

— JeffE
источник

@AT: эта оценка никогда не была «доказана неправильно». Есть ситуации, когда это не применимо, но это совершенно другое утверждение!

— Рафаэль

@AT: нижняя граница сортировки была доказана в гораздо более слабой модели вычислений, а именно в бинарных деревьях решений. Оценка была «доказана неправильно» путем разработки более быстрых алгоритмов, которые нельзя описать как бинарные деревья решений. Чтобы доказать неверную оценку Фредмана и Сакса, вам нужно будет разработать более быстрый алгоритм, который не обращается к памяти . Удачи.

— Джефф

@JeffE и Рафаэль; пожалуйста, просмотрите мой другой ответ и подтвердите / опровергните мой результат, когда вы получите шанс. Спасибо.

— AT

Похоже, что барьер был преодолен путем модификации анализа с помощью метода хронограммы. $\Omega(\dfrac{\log n}{\log\log n})$

Новая [нижняя] была доказана для аналогичных задач в модели клеточного зонда [1]. Из чтения этой статьи; Насколько я понимаю, эта граница относится и к проблеме представления списка . $\Omega(\log n)$

[1] Патраску, Михай и Эрик Д. Демейн. «Логарифмические нижние границы в модели клеточного зонда». SIAM J. Comput. 35, нет 4 (апрель 2006 г.): 932–963. DOI: 10.1137 / S0097539705447256.

— В
источник

Эта нижняя граница верна для слов постоянного размера, тогда как ранняя нижняя граница предназначена для слов логарифмического размера.

Ω (\log n / \log \log n)

$\Omega(\log n/\log\log n)$

— Юваль Фильмус

Верно. Кроме того, можете ли вы подтвердить, что эта граница относится к проблеме представления списка со словами постоянного размера?

— AT

Я могу подтвердить это из-за того, что Вы упомянули Дитца ( hdl.handle.net/1802/5694 ). Это делает сложность точно , и поэтому не .

Θ (\log n / \log \log n)

$\Theta(\log n/\log \log n)$

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$

— Jbapple