Различие в кейсе при динамическом программировании: пример необходим!

Я работал над динамическим программированием в течение некоторого времени. Канонический способ оценить рекурсию динамического программирования - создать таблицу всех необходимых значений и заполнять ее построчно. См., Например, Cormen, Leiserson и др .: «Введение в алгоритмы» для введения.

Я сосредотачиваюсь на схеме вычислений на основе таблиц в двух измерениях (построчное заполнение) и исследую структуру зависимостей ячеек, то есть какие ячейки необходимо выполнить, прежде чем можно будет вычислить другую. Обозначим через множество индексов клеток, от которых зависит клетка i . Обратите внимание, что Γ должен быть свободным от цикла.$\Gamma(\mathbf{i})$$\mathbf{i}$$\Gamma$

Я абстрагируюсь от фактической функции, которая вычисляется, и концентрируюсь на ее рекурсивной структуре. Формально, я считаю recurrrence быть динамическим программированием , если она имеет вид$d$

$\qquad d(\mathbf{i}) = f(\mathbf{i}, \widetilde{\Gamma}_d(\mathbf{i}))$

с , ~ Г д ( я ) = { ( J , д ( J ) ) | J ∈ Г д ( я ) } и е некоторой (вычислимому) функция, не используйте d, кроме как через ˜ Γ d .$\mathbf{i} \in [0\dots m] \times [0\dots n]$$\widetilde{\Gamma}_d(\mathbf{i}) = \{(\mathbf{j},d(\mathbf{j})) \mid \mathbf{j} \in \Gamma_d(\mathbf{i}) \}$$f$$d$$\widetilde{\Gamma}_d$

При ограничении детальности на неровные области (слева, вверху слева, сверху, верхние правой, ... из текущей ячейки) один отмечает , что, по существу , три случая (до симметрий и вращения) Валиды рекурсии динамического программирования, которые информируют, как таблица может быть заполнена:$\Gamma_d$

Красные области обозначают (чрезмерное приближение) . Случаи один и два допускают подмножества, случай три - наихудший случай (с точностью до преобразования индекса). Обратите внимание, что строго не требуется, чтобы все красные области были покрыты Γ ; Некоторые ячейки в каждой красной части таблицы достаточны, чтобы нарисовать ее красной. Белые области явно необходимы, чтобы не содержать никаких обязательных ячеек.$\Gamma$$\Gamma$

Примерами для первого случая являются расстояние редактирования и самая длинная общая подпоследовательность , второй случай - для Bellman & Ford и CYK . Менее очевидные примеры включают в себя такие, что работают с диагоналями, а не с рядами (или столбцами), поскольку их можно поворачивать для соответствия предлагаемым случаям; см . ответ Джо для примера.

У меня нет (естественного) примера для случая три, хотя! Итак, мой вопрос: каковы примеры для случая три рекурсии / проблемы динамического программирования?

Существует множество других примеров алгоритмов динамического программирования, которые совсем не соответствуют вашему шаблону.

• Самая длинная возрастающая проблема подпоследовательности требует только одномерной таблицы.

• Существует несколько естественных алгоритмов динамического программирования, таблицы которых требуют трех или даже более измерений. Например: Найти белый прямоугольник максимальной площади в растровом изображении. Алгоритм естественного динамического программирования использует трехмерную таблицу.

• Но самое главное, динамическое программирование не связано с таблицами ; это о раскручивании рекурсии. Существует множество естественных алгоритмов динамического программирования, в которых структура данных, используемая для хранения промежуточных результатов, не является массивом, потому что повторяющееся повторение не входит в диапазон целых чисел. Два простых примера - найти самый большой независимый набор вершин в дереве и найти самое большое общее поддерево из двух деревьев. Более сложный пример - алгоритм аппроксимации для евклидовой задачи коммивояжера Ароры и Митчелла.$(1+\epsilon)$

$A(m,n)$$A(m,n-1)$$A(m-1,k)$$k$

Это не идеально соответствует требованиям, так как количество столбцов бесконечно, и вычисления обычно выполняются сверху вниз с запоминанием, но я думаю, что стоит упомянуть.

Это не совсем подходит для случая 3, но я не знаю, отражает ли какой-либо из ваших случаев очень распространенную проблему, используемую для обучения динамическому программированию: матричное умножение цепей . Чтобы решить эту проблему (и многие другие, это только каноническая проблема), мы заполняем матрицу диагональю по диагонали вместо строки за строкой.

Итак, правило примерно такое:

Я знаю, это глупый пример, но я думаю, что простая итерационная проблема, такая как

Найти сумму чисел в квадратной матрице

может претендовать Традиционный «для каждой строки для каждого столбца» вроде как ваш случай 3.

Это не совсем то пространство поиска, которое вы ищете, но у меня есть представление о макушке, которое может помочь.

Проблема:

$n × n$$M$$x$$M$

Ответ

Это может быть решено следующим рекурсивным способом:

$k = \lceil{\frac{1+n}{2}}\rceil$$x$$m_{k,k}$$x<m_{k,k}$$m_{i,j}$$k\leq i\leq n$$k\leq j\leq n$$1/4$$x>m_{k,k}$$1/4$$\frac{3}{4} n^2$$x$$\left(\frac{3}{4}\right)^3 n^2$