Примеры контекстно-свободных языков с неконтекстно-свободными дополнениями

Контекстно-свободные языки не закрываются при дополнении. В лекциях нам дали тот же аргумент, что и здесь, в Википедии : для

$$A = \{\mathtt a^n \mathtt b^n \mathtt c^m;~m, n ∈ ℕ_0\}\quad\text{and}\quad B = \{\mathtt a^m \mathtt b^n \mathtt c^n;~m, n ∈ ℕ_0\},$$ и $A$ и $B$ зависят от контекста, но их пересечение $A ∩ B$ не является. Поскольку контекстно-свободные языки закрыты в союзах, они также не могут быть закрыты при дополнении.

Однако это только показывает, что один из трех языков $A$ , $B$ и $\overline A \cup \overline B$ является контекстно-свободным языком с неконтекстно-свободным дополнением, но не для какого из них это верно. Так что же это?

Кроме того, существует ли минимальный и элегантный пример языка без контекста с дополнением без контекста, возможно, над двоичным алфавитом?

Язык не является контекстно-свободным (это можно показать с помощью леммы прокачки; см. Здесь ). Его дополнение зависит от контекста (как показано здесь ). Это дает простой и элегантный пример языка без контекста (через двоичный алфавит), чье дополнение не является контекстно-свободным, как вы и просили.$L_1= \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$L_2 = \{a,b\}^* \setminus L_1$

Пример вы видите в Википедии: положить , . Легко видеть и являются контекстно-свободной путем определения КПК; Вы можете отметить , что они детерминированные контекстно-свободные языки, который является классом замкнут относительно дополнения. Поэтому является языком contextfree с не-contextfree комплемента .$A=\{a^n b^n c^m\}$$B=\{a^m b^n c^n\}$$\overline{A}$$\overline{B}$$\overline{A} \cup \overline{B}$$A \cap B=\{a^n b^n c^n\}$

В том же ключе, язык не контекстно-свободной , но его дополнение.$\{a^n b^m c^n d^m\}$