Общая идея в умножении Карацубы, Гаусса и Штрассена

Тождества, используемые в алгоритмах умножения

• Карацуба (целые числа)

• Гаусс (комплексные числа)

• Штрассен (матрицы)

кажется, очень тесно связаны. Есть ли общие абстрактные рамки / обобщения?

Классический каркас - это билинейные алгоритмы и разложения по тензорным рангам; в основном, вы строите трехсторонний тензор, связанный с билинейным отображением $f(A,B) = A \cdot B$ , на основе коэффициентов, затем ищите его разложение в виде суммы тензоров ранга один (т.е. такие как $T_{i,j,k} = u_i v_j w_k$ ). Вы найдете это объясненным более подробно, например, в этой статье Bläser или в книге Bürgisser, Clausen, Shokrollahi, Algebraic Complexity Theory,

Насколько я понимаю, переформулировка в терминах групповых представлений, которую Суреш упоминает в своем ответе, является более поздней, и я считаю, что она менее подходит для первого подхода к предмету (но, конечно, это может быть предвзятым с моей стороны ).

Частичным ответом на ваш вопрос является теоретико-групповой подход, впервые разработанный Коном и Умансом, а затем разработанный Коном, Клейнбергом, Сегеди и Уманом. Он может «сортировать» захват Штрассена и Копперсмита-Винограда для умножения матриц.